Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Srínivásza Rámánudzsan feladata
gyula205
kérdése
277
Definiáljuk az f(x) függvényt:
`f(x):=((x-sqrt(x^2-4))/2)^(sqrt(2))+((x+sqrt(x^2-4))/2)^(sqrt(2))`
Bizonyítsuk be, hogy `f(f(x))=x^2-2`!
`f(x):=((x-sqrt(x^2-4))/2)^(sqrt(2))+((x+sqrt(x^2-4))/2)^(sqrt(2))`
Bizonyítsuk be, hogy `f(f(x))=x^2-2`!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
2
kemenyb
{ Elismert }
megoldása
Rövid összefoglalás:
a=((x+sqrt(x^2-4))/2)^(sqrt(2))
1/a=((x-sqrt(x^2-4))/2)^(sqrt(2))
f(x)=a+1/a
sqrt((a+1/a)^2-4)=a-1/a
f(f(x))=((a+1/a-(a-1/a))/2)^(sqrt(2))+((a+1/a+a-1/a)/2)^(sqrt(2))=a^(sqrt(2))+(1/a)^(sqrt(2))
f(f(x))=((x+sqrt(x^2-4))/2)^2+((x-sqrt(x^2-4))/2)^2=...=x^2-2
a=((x+sqrt(x^2-4))/2)^(sqrt(2))
1/a=((x-sqrt(x^2-4))/2)^(sqrt(2))
f(x)=a+1/a
sqrt((a+1/a)^2-4)=a-1/a
f(f(x))=((a+1/a-(a-1/a))/2)^(sqrt(2))+((a+1/a+a-1/a)/2)^(sqrt(2))=a^(sqrt(2))+(1/a)^(sqrt(2))
f(f(x))=((x+sqrt(x^2-4))/2)^2+((x-sqrt(x^2-4))/2)^2=...=x^2-2
0
- Még nem érkezett komment!
gyula205
válasza
A bizonyítás menete hibátlan. A gyengébbek kedvéért leírnám, hogy amikor
az utolsó sorra érkezünk (és remélhetőleg mindenki látja ), hogy még egyszer `sqrt(2)`-edik
hatványra kell emelni az első és a második sorban kifejtett alakokat. A befejezés `=...=` része
már tiszta "középszintű" algebra.
az utolsó sorra érkezünk (és remélhetőleg mindenki látja ), hogy még egyszer `sqrt(2)`-edik
hatványra kell emelni az első és a második sorban kifejtett alakokat. A befejezés `=...=` része
már tiszta "középszintű" algebra.
Módosítva: 2 éve
0
- Még nem érkezett komment!