1. Biztos, hogy másodfokú egyenlettel kell? Nem egyenletrendszerrel?

Ha a tervezettek szerint x nap alatt napi y köbméter földet szállítottak el, akkor az egyenes arányosság elvét követve összesen x*y köbméter földet hordtak el, ez 8000-rel egyenlő:
x*y=8000
A feladat azt mondja, hogy x-8 napra volt szükség, mivel y+50 köbmétert vittek el naponta, de az összmennyiség 8000 maradt, ezért
(x-8)*(y+50)=8000.

Az első egyenletből y=8000/x adódik, ezt beírjuk a másodikba:

(x-8)*(8000/x +50)=8000, kibontjuk a zárójelet:
8000+50x -64000/x -400=8000, szorzunk x-szel:
8000x+50x²-64000-400x=8000x, összevonunk:
50x²+7600x-64000=8000x, redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:
50x²-400x-64000=0, osztunk 50-nel
x²-8x-1280=0, ebből a megoldóképlettel x=40 jön ki, a másik megoldással nem foglalkozunk.

Tehát eredetileg 40 nap alatt végeztek volna, és 8000/40=200 köbméter földet toltak arrébb naponta.

2. Ezeket akár végig is lehet próbálgatni (összesen 28 esetet kell végignézni), de egyenlettel így lesz: legyen x nő a társaságban, ekkor 27-x férfi van. Minden nő x-1 másiknak ad puszit, tehát x*(x-1) puszi kerül megszámlálásra, de minden puszi mindkét féltől meg lett számolva, ezért x*(x-1)/2 darab puszi volt. Ugyanezen logika alapján (27-x)*(26-x)/2 kézfogás történt.
A társaság egészére nézve 27*26/2=351 üdvözlés történt, Tehát felírható ez az egyenlet: puszik+kézfogások+kézcsókok=összes, így
x*(x-1)/2 + (27-x)*(26-x)/2 + 182= 351, kivonunk 182-t
x*(x-1)/2 + (27-x)*(26-x)/2 = 169, szorzunk 2-vel
x*(x-1)+(27-x)*(26-x)=338 , kibontjuk a zárójelekt
x²-x+702-27x-26x+x²=338, összevonunk
2x²-54x+702=338, osztunk 2-vel:
x²-27x+351=169, redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:
x²-27x+182=0, ebből megoldóképlettel x=14 és x=13, tehát vagy 14 vagy 13 nő volt, ekkor vagy 13 vagy 14 férfi, de a hölgyek vannak többen, tehát 14 nő és 13 férfi volt a társaságban.