Egyetemi beadandó feladatra a legtöbben itt elvből nem adnak teljes megoldást (valószínűleg már a kérdésfeltevés is a kurzus, vagy esetleg az egész intézmény szabályzatába ütközik), ezért én is csak iránymutatást adok.



1.

a) Ehhez nem kell semmit számolni. A differenciálegyenlet egy lineáris, időinvariáns (LTI) rendszert ír le, így tehát egy periodikus gerjesztésre csak azonos periódusú választ tud adni állandósult állapotban.

b) A megoldás gerjesztett komponensét keressük, ezt rengetegféleképpen meg lehet mondani. Laplace- vagy Fourier-transzformálhatod az egyenletet (a gerjesztés kivételével, azt bemenetnek tekintve), és meghatározhatod a "kimenetet", vagyis az `x(t)` függvényt. Vagy dolgozhatsz a próbafüggvényes módszerrel: tudod, hogy egy `4sin(pi t)` gerjesztésre `x(t)=A sin(pi t + \varphi)` alakú megoldást kell keresned, ezt behelyettesíted az egyenletbe, és kifejezed az `A` amplitúdót. Ha pedig tudsz programozni valamilyen magas szintű szkriptnyelvben (pl. MATLAB, Python), akkor ellenőrzésképpen megoldhatod valamilyen egyszerű numerikus módszerrel az egyenletet (pl. a Runge–Kutta-módszer nagyon egyszerűen leprogramozható, mellékeltem is). Illetve ez egy elég "híres" egyenlet ahhoz, hogy megoldás nélkül is lehessen tudni az állandósult állapotbeli viselkedését leíró képleteket (sajátfrekvencia, csillapítás).

c) Itt a rendszer rezonanciafrekvenciája a kérdés. Ez kijön a homogén egyenlet karakterisztikus polinomjából, avagy a Laplace-transzformált rendszer pólusaiból. Vagy persze van rá képlet is, ha tanultad.



2.

Ezt a decibel definíciója alapján meg kell tudnod válaszolni, csak a logaritmus azonosságait kell hozzá ismerni (`log(xy)=log x + log y`).



3.

Ha a kötél mindkét végén rögzítve van, akkor az alapmódus az, amikor egy félhullám alakul ki a kötélen, azaz a hullámhossz 40 méter. A megadott feszítőerőből és tömegből ki tudod számolni, mekkora sebességgel terjed a kötélen a hullám. Ezekből pedig már meg tudod határozni a frekvenciát. A mozgási energia ugyebár `1/2 m v^2`, ahol `m` a vizsgált kötéldarab tömege, a `v` sebességet pedig ki tudod fejezni a frekvenciával és az amplitúdóval.