Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Differenciálegyenletek, Laplace-transzformáció, kezdeti érték
egyszervolt
{ Fortélyos } kérdése
380
Megakadtam itt amikor x és y is van a Laplace-transzformálásnál, amikor egy változó van, azok már nagyjából mennek.
Oldjuk meg a Laplace-transzformációval az alábbi kezdetiérték-problémát:
x'=5x-y , y'=3x+y
x(0)=-1 , y(0)=2
Oldjuk meg a Laplace-transzformációval az alábbi kezdetiérték-problémát:
x'=5x-y , y'=3x+y
x(0)=-1 , y(0)=2
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
Ugyanaz a megoldás menete, mint egyismeretlenes esetben. A Laplace-transzformációval a kétismeretlenes kezdetiérték-problémát kétismeretlenes algebrai egyenletrendszerré konvertáljuk, azt megoldjuk, és elvégezzük az inverz Laplace-transzformációt.
A feladat Laplace-transzformáltja:
`sX(s)+1=5X(s)-Y(s)`
`sY(s)-2=3X(s)+Y(s)`
Az elsőből könnyen kifejezhető `Y(s)`, a másodikból pedig `X(s)`:
`Y(s)=(5-s)X(s)-1`
`X(s)=(s-1)/3 Y(s)-2/3`
Helyettesítsük be a másodikat az elsőbe:
`Y(s)=Y(s) ((s-1)(5-s))/3 -2/3 (5-s)-1`
Rendezzük `Y(s)`-re:
`Y(s)=(2s-13)/(s^2-6s+8)`
Ebből a második egyenlet alapján `X(s)`:
`X(s)=((2s-13)(s-1))/(3s^2-18s+24)-2/3`
Végezzük el a résztörtekre bontást:
`Y(s)=4.5/(s-2)-2.5/(s-4)`
`X(s)=1.5/(s-2)-2.5/(s-4)`
Innen az inverz Laplace-transzformáltak:
`y(t)=4.5e^(2t)-2.5e^(4t)`
`x(t)=1.5e^(2t)-2.5e^(4t)`
Ellenőrzés:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%3D5x-y,+y%27%3D3x%2By,+x(0)%3D-1,+y(0)%3D2
A feladat Laplace-transzformáltja:
`sX(s)+1=5X(s)-Y(s)`
`sY(s)-2=3X(s)+Y(s)`
Az elsőből könnyen kifejezhető `Y(s)`, a másodikból pedig `X(s)`:
`Y(s)=(5-s)X(s)-1`
`X(s)=(s-1)/3 Y(s)-2/3`
Helyettesítsük be a másodikat az elsőbe:
`Y(s)=Y(s) ((s-1)(5-s))/3 -2/3 (5-s)-1`
Rendezzük `Y(s)`-re:
`Y(s)=(2s-13)/(s^2-6s+8)`
Ebből a második egyenlet alapján `X(s)`:
`X(s)=((2s-13)(s-1))/(3s^2-18s+24)-2/3`
Végezzük el a résztörtekre bontást:
`Y(s)=4.5/(s-2)-2.5/(s-4)`
`X(s)=1.5/(s-2)-2.5/(s-4)`
Innen az inverz Laplace-transzformáltak:
`y(t)=4.5e^(2t)-2.5e^(4t)`
`x(t)=1.5e^(2t)-2.5e^(4t)`
Ellenőrzés:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%3D5x-y,+y%27%3D3x%2By,+x(0)%3D-1,+y(0)%3D2
1
-
egyszervolt: Köszönöm! 5 éve 0