Matek házi

1)
a)
Egy téglalap területe a 2 egymás melletti oldalának szorzata. Ezek a négyzet esetében azonos hosszúak. Legyen ez a hossz `a`. Ekkor a terület `a*a=a^2`. Azt is tudod, hogy a terület `100 cm^2`. Ezek alapján felírhatod, hogy
`a^2=100\ cm^2`
Gyököt vonsz mindkét oldalból
`a=10\ cm`

b)
Legyen az újabb négyzet oldala `b`. Ekkor az az egyenlőség áll fent, hogy
`b^2=300\ cm^2`
Most arra vagy kíváncsi, hogy mennyi a `b/a` arány (azaz hányszorosa `b\ a`-nak). Ugyanúgy gyököt tudsz vonni mindkét oldalból. Viszont mielőtt ezt megtenném, kicsit átalakítom a jobb oldalt, hogy könnyebben látszódjon, mi történik.
`b^2=3*100`
Ha egy szorzatból gyököt vonsz, akkor azt megteheted úgy is, hogy tagonként vonsz gyököt, és azok szorzatát veszed.
`b= sqrt(3)*10\ cm`

`b/a=(sqrt(3)*10)/10=sqrt(3)`

2.
a)
Legyen a négyzetünk oldala `a`. Ennek a területe `a^2`.
Megkétszerezzük a négyzet oldalát, azaz az oldal `2a` lesz. Ekkor a terület `2a*2a=4a^2`
A terület a négyszeresére növekszik.

b)
Legyen az eredeti terület `T`. Ekkor az oldal `sqrt(T)`.
Az új terület `2T`. Ennek oldala `sqrt(2T)=sqrt(2)*sqrt(T)`.
Az oldal az `sqrt(2)`-szeresére változik.

Általánosan megfigyelhető síkidomoknál, hogy a hosszok egyszerűen csak arányosan változnak, viszont a területek négyzetesen. Például ha van egy síkidomom, aminek az oldala `a`, akkor az ehhez hasonló kétszer ekkora területű oldala `sqrt(a)` lesz. Egy újabb hasonló, `2a` oldalú síkidom területe pedig 4-szeresére nő. A térfogatok hasonlóan működnek 3 dimenzióban, ott a hossz és a térfogat köbösen aránylik.