(2-a)⁵ = -a⁵ + 10 a⁴ - 40 a³ + 80 a² -80 a + 32

A binomiális tétel különbségre: (x-y)ⁿ=(n alatt a 0)*xⁿ-(n alatt az 1)*xn-1*y¹+(n alatt a 2)*xn-2*y²+...+(-1)k*(n alatt a k)*xn-k*yk+...-(n alatt az n-1)*x*y(n-1)+(n alatt az n)*yⁿ. A trükk, amit itt észre kell venni, hogy x kitevőjét mindig 1-gyel csökkentjük, y-ét pedig növeljük.

Nekünk itt most n=5 van, tehát így fog alakulni:

(2-a)^5=(5 alatt a 0)*2⁵-(5 alatt az 1)*2⁴*a+(5 alatt a 2)*2³*a²-(5 alatt a 3)*2²*a³+(5 alatt a 4)*2*a⁴-(5 alatt az 5)*a⁵

A zárójeles számok kifejezését definíció szerint ki tudjuk számolni; (n alatt a k)=n!/(k!*(n-2)!, ahol definíció szerint x!=x*(x-1)*...*3*2*1, vagyis x-től 1-ig összeszorozzuk az egész számokat, tehát például (5 alatt a 2)=5!/(2!*(5-2)!)=5!/(2!*3!)=(5*4*3*2*1)/(2*1*3*2*1)=5*4/2=10, de azt is tudhatjuk, és ha tudjuk, akkor használjuk azt, hogy ezek a számok a Pascal-háromszög 5. sorának számai (ami 0. sorral kezdődik):

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1, tehát
(5 alatt a 0)=1, (5 alatt az 1)=5, (5 alatt a 2)=10, =(5 alatt a 3)=10, (5 alatt a 4)=5, (5 alatt az 5)=1, tehát az összeg:

1*2⁵-5*2⁴*a+10*2³*a²-10*2²*a³+5*2*a⁴-1*a⁵, innen már csak a szorzatokat kell kiszámolni:

32-80a+80*a²-40*a³+10*a⁴-a⁵