Egy apró trükkel nagyon egyszerű.

Mivel nincs más ötlet, úgy veszem, hogy szabad a gazda.:-)

Először egy megjegyzés a feladat címéhez: ez nem egy egyenlet, hanem egy egyenlet rendszer, mégpedig a két ismeretlenes, elsőfokúak csoportjából.

A két egyenlet
27/(2x - y) + 32/(x + 3y) = 7
45/(2x - y) + 1 = 48/(x + 3y)

Mielőtt nekifognánk, célszerű elemezni a feladatot.
Ha az ötltet jönne, hogy hozzuk közös nevezőre az egyenleteket, akkor joggal kérdezhetné valaki, hogy mikor látott orvos? :-)
Nem marad más, mint célszrű tartalmú új változók bevezetése.
Igen ám, de mi legyen a változókban?
Az első ötlet, hogy a kétféle nevező legyen új változó.
Például legyen
2x - y = a
x + 3y = b
Ezekkel
27/a + 32/b = 7
45/a + 1 = 48/b
Ekkor, ha közös nevezőre hozzuk az egyenleteket, jobb oldalon megjelenik az új változók szorzat isa, amivel nagyon meggyűlik a bajunk. Ennél jobb ötlet kell.
Mi van a számlálókkal?
Kis nézelődés után rá lehet jönni, hogy az azonos nevezőjű tagok számlálója összetett szám és van - biztos nem véletlenül - legnagyobb közös osztójuk! Ha ezeket is bevesszük az új változókba...
A számlálók így is írhatók
3*9/(2x - y) + 2*16/(x + 3y) = 7
5*9/(2x - y) + 1 = 3*16/(x + 3y)
Az első törtek azonos része legyen
9/(2x - y) = a
a másodiknál
16/(x + 3y) = b
Ezekkel az egyenlet rendszer a kövevetkező képet mutatja
3a + 2b = 7
5a + 1 = 3b
A másodikat rendezve (változók az egyik, konstansok a másik oldalra) az új felállás
3a + 2b = 7
5a - 3b = -1
Így már sokkal barátságosabb a látvány, a többi már megoldástechnika kérdése.

Szorozzuk meg az első egyenletet 3-mal, a másodikat 2-vel
9a + 6b = 21
10a - 6b = -2
Adjuk össze őket
19a = 19
a = 1
Vonjuk ki az elsőből a másodikat
-a + 12b = 23
mivel a = 1
12b = 24
b= 2
Eddig megvolnánk, lássuk a kinevezett változók tartalmát
9/(2x - y) = a
16/(x + 3y) = b
Az előzőleg kiszámított értékeket behelyettesítve
9/(2x - y) = 1
16/(x + 3y) = 2
A törteket eltüntetve, a változókat bal oldalra írva
2x - y = 9
2x + 6y = 16
A másodikból az elsőt kivonva
7y = 7
y = 1
====
Ezt az elsőbe behelyettesítve
2x -1 = 9
2x = 10
x = 5
====
A gép forog, az alkotó pihen :-)

U.i: A kedves kérdező nemes feladata az eredeti egyenletekbe visszahelyettesítve ellenőrizni a megoldást.