Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matematika

29
Az [1/4,∞] tartományon értelmezett X folytonos változó sűrűségfüggvénye ρ(x) =1/(4x^2) . Legyen Y =√X.
Mi lesz Y sűrűségfüggvénye?

Úgy kezdtem, hogy behelyettesítettem a Y =√X-ba, majd lederiváltam, hogy megkapjam a sűrűségfüggvényt (-sqrt(1/x^2)/(2 x)). A tartománnyal, amin értelmezve van viszont nem tudom mit kellene kezdenem.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
(Apropó, tényleg `p(x)`-szel jelölitek a sűrűségfüggvényt? Inkább `f(x)` szokott lenni. A nagybetűs `P("esemény")` pedig az esemény valószínűségét jelenti, mondjuk `P(X < x)`. És mivel jelölitek az eloszlásfüggvényt? Én nagy `F(x)`-nek, vagy ha több val.változó is van, akkor az `X` eloszlásfüggvényét `F_X(x)`-nek.)

A tartomány az egyszerűbb: Ha `X` értéke `1/4`-től indul, akkor `sqrtX` (ami `Y`) `sqrt(1/4)=1/2`-től.
A vége meg `sqrt∞`, vagyis `∞`.

Viszont a transzformált sűrűségfüggvény már jóval bonyolultabb:
A `p(x)` sűrűségfüggvény helyett az `F_X(x)` eloszlásfüggvény kellene, mert az `F_X(x)=P(X < x)` valószínűségből következik az, hogy az `Y` változó `F_Y(y)` eloszlásfüggvénye ilyen:
`F_Y(y)=P(Y < y)=P(sqrtX < y)=P(X < y^2)=F_X(y^2)`

Az eloszlásfüggvény pedig a `p(x)` sűrűségfüggvényből így jön:
`F_X(x)=int_(-∞)^x p(t)\ dt=int_(1//4)^x p(t)\ dt qquad` mivel alatta nincs értelmezve.
`int_(1//4)^x 1/(4t^2)\ dt = [-1/(4t) ]_(1//4)^x=-1/(4x)-(-1/(4·1/4))`
vagyis
`F_X(x)=1-1/(4x)`
ezért
`F_Y(y)=F_X(y^2)=1-1/(4y^2)`

A sűrűségfüggvény pedig ennek a deriváltja:
`f_Y(y)=d/dy F_Y(y)=1/(2y^3)`
1