Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Három kör

433
Van három különböző sugarú, egymást páronként érintő kör.
Mekkora a körök sugara, ha középpontjaik távolsága adott?

Haladóknak
1.) Mekkora a köröket kivülről érintő kör sugara?
2.) Mekkorák a páronkénti közös külső érintők meghúzásával keletkező háromszög oldalai?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
1
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
Most még csak az elsôt tudom megválaszolni..
Legyen A ,B, C; a körök sugarai.
X ,Y ,Z; a kör középppntjainak távolsága.
Ekkor
A+B=X B+C=Y. C+A=Z
Azonosságok:
B=X-A és C=Z-A
Y=B+C=(X-A)+(Z-A)=X+Z-2A
Y=X+Z-2A
Y+2A=X+Z
2A=X-Y+Z
A=0.5×(+X-Y+Z)
És ebből kiszámolható az összes oldal nagysága.
Módosítva: 1 éve
0

Itt ..
0

Mivel úgy tűnik, a tieden kivül más megoldás nem várható, megmutatom a saját megoldásomat. Mikor a feladatot kiírtam, azt hittem, ez lesz a legkönnyebb...

Köszi rajzot, de én más értelmezéssel fogom használni.
Legyen
A, B, C egy háromszög három csúcsa
és
BC = a
CA = b
AB = c
a háromszög oldalai
ra, rb, rc - az A, B, C középpontú körök sugara
A feladat
a, b, c - adott
ra, rb, rc = ?

Elemezve az ábrát hamar kiderül, hogy a háromszög minden oldala két sugár összege, vagyis
1.) a = rb + rc
2.) b = rc + ra
3.) c = ra + rb
Van három egyenletünk a három ismeretlenhez, elvileg a feladat megoldható.
Mit tesz ilyenkor a gyerek?
Leszegett fejjel nekiáll a favágásnak: kifejezem, majd behelyettesítem... stb., anélkül, hogy gondolkodna, elemezne. Szó se róla, így is lehet, de itt minek? Mintha az lenne az alapelv, hogy miért egyszerűen, mikor bonyolultan is lehet.
Szóval kell egy jó ötlet. Mi lenne, ha...

Adjuk össze a három egyenletet
a + b + c = 2(ra + rb + rc)
A bal oldal a háromszög kerülete
K = 2(ra + rb + rc)
Bevezetve az 's' félkerületet
2s = 2(ra + rb + rc)
Egyszerűsítés után
4.) s = ra + rb + rc

Ezek után az ismeretlen sugarak
4.)-ből
ra = s - (rb + rc)
A zárójeles mennyiség az 1.) szerint az 'a' oldallal egyenlő, ezért
ra = s - a
Ennek mintájára a 2.) ill. 3.) egyenletet figyelembe véve
rb = s - b
rc = s - c

A feladat megoldva. :-)




0