Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Segitség. Diffegyenlet sürgős lenne.

332
Teljes káosz van bennem. Valaki megtudná csinálni és leveztné nekem? Nagy segítség lenne
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
Ezt a de.t háromféle módszerrel is meg kellene tudni oldani.

Nézzük az egyiket. Tételezzük fel, hogy y=u(x)v(x) alakú.
Ekkor y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Ezt visszahelyettesítve az eredeti
egyenletbe kapjuk, hogy u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-u(x)v(x)=x·eˣ.
Azaz u(x)(v'(x)-v(x))+(u'(x)v(x)-x·eˣ)=0

Mindkét tag zérus voltát feltételezve ugy járunk el, hogy
először megoldjuk v'(x)-v(x)=0 egyenletet, aminek köztudottan
v(x)=eˣ a megoldása. Ezt visszahelyettesítve a második tagba kapjuk, hogy
u'(x)eˣ-x·eˣ=eˣ(u'(x)-x)=0, azaz u(x)=x²/2+C.

Így a de. megoldása y(x)=eˣ(x²/2+C).
Módosítva: 5 éve
0

A homogén egyenlet ez:
`y'-y=0`
Ennek általános megoldása még egyszerű:
`y'=y`
`y_h=C·e^x`
(Ez ránézésre jött ki. Ha nem jön neked ránézésre, szólj, lehet lambdával is levezetni, de azt hiszem, az megy neked is.)

Most jön a nehezebb: az inhomogén egyenlethez kell egy partikuláris megoldást keresni.
A jobb oldlaon `x·e^x` van, ami egy polinomnak és az exponenciálisnak a szorzata. Az ilyen függvény próbafüggvénye úgy jön ki, hogy vesszük mindkettőből hogy mi lenne a próbafüggvény, és összeszorozzuk:

Az `x` polinomhoz az `Ax+B` próbafüggvény tartozna.

Az `e^x` exponenciálishoz elvileg `D·e^x`, de a homogén egyenlet általános megoldásában is `e^x` van, vagyis ezek rezonanciában vannak. Ezért `D·x·e^x` kell legyen a próbafüggvény (`x`-szel szorozni kellett).

A próbafüggvények szorzata pedig ezek uán ez lesz:
`y_p=(Ax+B)·xe^x=(Ax^2+Bx)e^x`
(A harmadik konstans szorzót (`D`) lehagytam, mert az csak az `A` meg `B` értékét változtatná meg.)

Ezt kell tehát behelyettesíteni az eredeti egyenletbe. Deriváltja:
`y_p^'=(2Ax+B)e^x+(Ax^2+Bx)e^x`
Az egyenlet pedig:
`(2Ax+B)e^x+(Ax^2+Bx)e^x-(Ax^2+Bx)e^x=xe^x`
`(2Ax+B)e^x=xe^x`
`2Ax+B=x`
ami akkor teljesül, ha `2A=1` és `B=0`

Tehát a partikuláris megoldás ez lett:
`y_p=x^2/2e^x`

Az általános megoldás pedig:
`y=C·e^x+x^2/2e^x`
0