Thalesz tételének értelmében az átfogó 24 cm hosszú.

A megfelelő ábra felrajzolása után azt kapjuk, hogy a két befogó hossza felírható 5+x és 29-x alakban, innentől felírható Pitagorasz tétele:

`(5+x)² + (29-x)² = 24²`, ennek pedig nincs megoldása.

Általánosan;

Ha a beírt kör sugara `r`, a köréírt sugara `R`, akkor ez az egyenlet adódik;

`(r+x)² + (2R+r-x)² = (2R)²`

Ezt a másodfokú egyenletet kell megvizsgálni megoldhatóság szempontjából, ahol R;r paraméterek. Idő hiányában sajnos ezt csak később tudom levezetni.

(Nem hiszem, hogy ez a feladat neked nagy kihívást jelentett volna. Szóval; tesztelsz minket, vagy csak szórakoztatni akarsz? )

Folytatása következik...

Bontsuk ki a zárójeleket, és rendezzük általános alakra;
r²+2*r*x+x² + (2R+r)² - 2*(2R+r)*x + x² = 4R²

2x² - 4R*x + (r²+(2R+r)²-4R²) = 0

Akkor lenne jó, hogyha ennek az egyenletnek lenne megoldása, megoldása pedig akkor lesz, hogyha a megoldóképletben a diszkrimináns leaglább 0, tehát:

(4R)² - 4*2*(r²+(2R+r)²-4R²) ≥0, ennek megoldása:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(4R)%C2%B2+-+4*2*(r%C2%B2%2B(2R%2Br)%C2%B2-4R%C2%B2)+%E2%89%A50+;+0%3Cr%3CR

Tehát annak kell teljesülnie, hogy `R≥ r*(√2+1)`. Esetünkben `12≥5*(√2+1)`, ami nem igaz, ezért nincs megoldása a feladatnak. Ha az egyenlőség teljesül, akkor egy egyenlő szárú derékszögű háromszögből indultunk ki.

Igen, ez a megoldás!
Bár nekem szimpatikusabb
R/r ≥ √2 + 1
formában, de ez ízlés dolga.

Azt viszont nem tudom, mit keres itt a WolframAlpha?
Nem igaz, hogy megterhelő lenne egy négyzetre emelés és összevonás után kihozni a determinánst. A WolframAlpha és a GeoGebra nem bizonyításra, hanem ellenőrzésre való. Elkényelmesíti a dolgozót, gondolkodás helyett gombnyomogatás.
Persze vannak esetek, amikor indokolt a WolframAlpha, de itt nem igazán szükséges. Szerintem.

A feladat láttán valakinek beugorhat egy összefüggés a háromszög köré és bele írható körök sugarainak arányáról, miszerint R/r ≥ 2.
Egy osztás, a feltétel teljesül, nosza rajta, lássuk a befogókat.
És mi történik? Egy orrhosszal a cél előtt kiderül, hogy nincs megoldás!
Na most mi van? Ellenőrzi a levezetést... az rendben. Aztán megvizsgálja a determinánst, és kiderül: mindamellett, hogy az általános feltétel teljesül, derékszögű háromszög esetén ez nem elég: a minimum nem 2, hanem √2 + 1!
A dolgozó még egyszer ellenőriz, aztán örül, mert ezzel az egyenlőtlenséggel még nem találkozott. Ami nem jelent semmit, de egy újszülöttnek minden vicc új.
Kiváncsiságból gyorsan kiszámolja, mennyin múlott a siker: 12/5 - (√2 + 1) = -0,0142...
Ekkora értéket más számításnál simán el lehet hanyagolni, itt viszont döntő ez az apróság. Kicsi bors... :-)

De gondolom, számodra mindez már régen ismert dolog és elnéző mosollyal szemléled egy vásári mutatványos szedett-vedett trükkjeit. A mosolyért már megérte.