Korábbról kezdem, mert így a közepénél nem tudom felvenni a fonalat.

Ha φ szöggel fordul el az inga, akkor az mg erő két komponensre bontható. A kerületi komponense gyorsítja a kerületi sebességét:
`F_k =mg·sinφ`
Pontosabban pont a negáltja, mert ha jobbra tér ki az inga, akkor balra mutat az erő:
`F_k =-mg·sinφ`
Ez gyorsítja:
`F_k=m·a_k`
vagyis
`a_k=-g·sinφ`
A kerületi gyorsulás és a szöggyorsulás viszonya:
`a_k=β·ℓ`
`β=-g/ℓ·sinφ`
A szöggyorsulás a szögsebesség deriváltja, vagyis a szög második deriváltja:
`(d^2φ)/(dt^2)=-g/ℓ·sinφ`
Kis kitéréseknél a szög szinusza becsülhető magával a szöggel (radiánban persze) :
`(d^2φ)/(dt^2)=-g/ℓ·φ`
Ezt a fentit írtad te fel.

`(d^2φ)/(dt^2)+g/ℓ·φ=0`
Oldjuk meg a diffegyenletet. Feltételezzük a `φ=e^(λt)` megoldást. A karakterisztikus egyenlet:
`λ^2+g/ℓ=0`
`λ_(12)=(0+-sqrt(-4g/ℓ))/2=0+-i·sqrt(g/ℓ)`
A gyök alatti mínusz előjel miatt ez komplex konjugált gyökpár, ezért az `e^(λt)`-ből szinusz meg koszinusz megoldás lesz. Azoknak a lineáris kombinációja az általános megoldás:
`φ=C_1·cos(sqrt(g/ℓ)·t)+C_2·sin(sqrt(g/ℓ)·t)`
ezt kis trigonometria hókuszpókusszal egyetlen szinusszal is le lehet írni:
`φ=C·sin(sqrt(g/ℓ)·t+α)`
α értéke `C_1` meg `C_2`-től függ, persze `C` is azoktól függ.
(Hogy mennyi lesz egy adott ingánál a `C` meg az `α`, az a peremfeltételektől függ, vagyis hogy mennyire térítjük ki az ingát meg mikor engedjük el.)

Vezessük be ezt a jelölést:
`ω=sqrt(g/ℓ)`
`φ=C·sin(ωt+α)`
Ez pedig C amplitudójú ω körfrekvenziájú harmonikus rezgőmozgás α fázissal eltolva.
Tudjuk, hogy `ω=2π·f=(2π)/T`
`T=(2π)/ω=2π·sqrt(ℓ/g)`