1.
6 - (6x-4)/5 = 2x + (2-5x)/3 /⋅15 (szorunk a közös nevezővel, ami 15, 5 és 3 szorzata)
90 - 3⋅(6x-4) = 30x + 5⋅(2-5x)
90 - 18x + 12 = 30x + 10 - 25x
102 - 18x = 5x + 10
-23x = -92
x = 4

2.
|3x-4| = 4 - x

Kettő megoldást kapunk majd, mert a 3x-4 és a -3x+4 abszolút értéke is 3x-4:

I. eset (ha 3x-4 ≤ 0, azaz ha x ≤ 4/3):
3x - 4 = 4x
-x = 4
x1 = -4

II. eset (ha 3x-4 > 0, azaz ha x > 4/3):
-3x + 4 = 4x
-7x = - 4
x2 = 4/7
4/7 kisebb 4/3-nál, ezért x2 nem megoldás.

3.
√ x+2  = x-4

Itt ki kell kötnünk, hogy a négyzetgyök alatti kifejezés értéke nem lehet negatív, azaz:
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2

Majd négyzetre emelés után az egyenlet jobb és bal oldala így alakul:
x + 2 = x2 - 8x + 16
-x2 + 9x - 14 = 0

Megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet a megoldóképlet segítségével (a=-1, b=9, c=-14)
x1,2 = (-9 ± √ 81-56 )/-2 = (-9 ± √ 25 )/-2 =
=x1 = -4/-2 = 2
= x2 = -14/-2 = 7

4.
9x+1 - 12⋅3x+1 + 27 = 0
Ránézésre ez egy másodfokú egyenletre visszavezethető exponenciális egyenletnek tűnik. 3x-t kiemeljük:
(3x)2⋅9 - 12⋅3x⋅3 + 27 = 0
3x helyett új ismeretlenként bevezetjük y-t:
9y2 - 36y + 27 =0
A kapott másodfokú egyenletet a megoldóképlettel megoldjuk (a=9, b=-36, c=27):
x1,2 = (36 ± √ 1296-972 )/18 = (36±18)/18 =
= x1 = 1
= x2 = 3

x1: 31 = 3
x2: 33 = 27

Leellenőrizve az egyenletet kiderül, hogy x2 nem megoldás.

5. lg(3x+5) = lg(3x-5) - lg(x+5)
Ki kell kötnünk, hogy mindegyik zárójelben levő kifejezés értéke nagyobb kell hogy legyen 0-nál:
a) 3x+5 > 0
x > -5/3

b) 43x-5 > 0
x > 5/43

c) x+5 > 0
x > -5

Együtt: x > 5/43 mindenképp kell hogy teljesüljön

Az egyenletet a logaritmus azonosságai segítségével alakítjuk:
lg(3x+5) = lg [(43x-5)/(x+5)]
Mivel a logaritmusfüggvény szigorúan monoton, két pozitív szám logaritmusa pontosan akkor egyenlő egymással, ha a két szám is egyenlő. (konyhanyelven: a logaritmus "elhagyásával" tovább folytatjuk az egyenlet megoldását...)
3x+5 = (43x-5)/(x+5) /⋅(x+5)
(3x+5)⋅(x+5) = 43x-5
3x2 + 15x + 5x + 25 = 43x - 5
3x2 + 20x + 25 = 43x - 5
3x2 - 23x + 30 = 0
Ismét egy másodfokú egyenletet kaptunk (a=3, b=-23, c=30), melynek megoldása:
x1,2 = (23 ± √ 529-360 )/6 = (23 ± 13)/6 =
= x1 = 6
= x2 = 10/6

Ha jól végeztem az ellenőrzést, akkor se nem x1, se nem x2 megoldás.