Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Hasonlo sikidomok terulet aránya?

598
valaki el tudná magyarázni érthetően mert nem értek belőle semmit:(
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, help, hasonlóság, 10
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Szerencsére elég ezt a négyzet területére megnézni, mert valójában minden síkidom területe valamilyen módon (pl. darabolással) visszavezethető egy ugyanakkora területű négyzetre (ez nem véletlenül van így, elvégre a terület definiálásakor a négyzetet vettük alapul), és ha van két hasonló síkidomunk, akkor azok átdarabolhatóak két hasonló négyzetre, és a négyzetek mindig hasonlóak egymással, emiatt a négyzetek esetén mindig ugyanúgy működik a hasonlóság, akár az oldalak hosszára nézve, akár a területekre (és majd a későbbiekben a kockák térfogatára is így lesz).

Egy konkrét példán;
Legyen a kisebbik négyzet oldala 3 cm hosszú, a nagyobbik 15 cm. A kisebbik háromszög területe 3*3=9 cm^2, a nagyobbé 15*15=225 cm^2. Most nézzük az oldalak és a területek egymáshoz való viszonyát; a hasonlóság aránya: nagy/kicsi=15/3=5, ezt szoktuk λ-val jelölni. Most a területek aránya: 225/9=25, ez pont 5², vagyis λ². A példában azt láttuk, hogy a nagyobb négyzet területét a kisebbikéből úgy kapjuk, hogy területét megszorozzuk a hasonlósági arány négyzetével, vagyis 9*5²=225.

Általánosan;
legyen a kisebb négyzet oldala `a` hosszú, a hasonlóság aránya legyen `λ>1`, ekkor a nagyobb négyzet oldala `a*λ` nagyságú lesz. Látható, hogy ekkor az oldalak aránya:
`(nagy)/(kicsi) = (a*λ)/a = λ`, tehát valóban a*λ lesz (és ez általában is igaz lesz; ha kisebből akarunk nagyobbat csinálni, akkor az oldalakat csak be kell szorozni a hasonlósági tényezővel (ha az nagyobb 1-nél), ha viszont kisebbet, akkor (érthető módon) osztani kell).
Ebben az esetben a
kisebb négyzet területe: `a*a=a²`
nagyobb négyzet területe: `(a*λ)*(a*λ)=a²*λ²`
Látható, hogy a nagyobb négyzet területe valóban a kisebb négyzet területének λ²-szerese, tehát a nagyobb négyzet területét nemes egyszerűséggel úgy kapjuk meg a kisebbikéből, hogy megszorozzuk a hasonlósági arány négyzetével (ha pedig a nagyobból akarjuk a kisebbet, akkor osztani kell).
Még egyszer mondom; mivel darabolással mindig négyzet kapható (elméletben, mert gyakorlatban a legtöbb esetben végtelen sok vágásra lenne szükség, de ez bőven elég), ezért elég a négyzetre megnézni, hogy mi történik, viszont ugyanez a levezetés (vagyis hogy az arányból indulunk ki) mindegyik síkidomra ugyanúgy történik. Például;
-háromszög esetén a területképlet `(a*m)/2`. Ha a hasonlóság aránya λ>1 itt is, akkor a nagyobb háromszög oldala a*λ nagyságú, a magassága m*λ, így területe: `((a*λ)*(m*λ))/2 = ... = (a*m)/2*λ²`, tehát látható, hogy itt is a λ²-szeresére változott a terület.
-a kör területe `r²*π`. Ha vesszünk az r*λ sugarú kört, akkor a területe `(r*λ)²*π=r²*π*λ²`, tehát itt is megjelent a λ² szorzó, emiatt a terület itt is λ²-szeresére nőtt.

Nagy vonalakban, szinte teljes egészében, erről szól a hasonlóság.
Módosítva: 5 éve
1