Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Hasonlo sikidomok terulet aránya?
hollikniki{ Kérdező } kérdése
598
valaki el tudná magyarázni érthetően mert nem értek belőle semmit:(
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, help, hasonlóság, 10
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad{ }
megoldása
Szerencsére elég ezt a négyzet területére megnézni, mert valójában minden síkidom területe valamilyen módon (pl. darabolással) visszavezethető egy ugyanakkora területű négyzetre (ez nem véletlenül van így, elvégre a terület definiálásakor a négyzetet vettük alapul), és ha van két hasonló síkidomunk, akkor azok átdarabolhatóak két hasonló négyzetre, és a négyzetek mindig hasonlóak egymással, emiatt a négyzetek esetén mindig ugyanúgy működik a hasonlóság, akár az oldalak hosszára nézve, akár a területekre (és majd a későbbiekben a kockák térfogatára is így lesz).
Egy konkrét példán;
Legyen a kisebbik négyzet oldala 3 cm hosszú, a nagyobbik 15 cm. A kisebbik háromszög területe 3*3=9 cm^2, a nagyobbé 15*15=225 cm^2. Most nézzük az oldalak és a területek egymáshoz való viszonyát; a hasonlóság aránya: nagy/kicsi=15/3=5, ezt szoktuk λ-val jelölni. Most a területek aránya: 225/9=25, ez pont 5², vagyis λ². A példában azt láttuk, hogy a nagyobb négyzet területét a kisebbikéből úgy kapjuk, hogy területét megszorozzuk a hasonlósági arány négyzetével, vagyis 9*5²=225.
Általánosan;
legyen a kisebb négyzet oldala `a` hosszú, a hasonlóság aránya legyen `λ>1`, ekkor a nagyobb négyzet oldala `a*λ` nagyságú lesz. Látható, hogy ekkor az oldalak aránya:
`(nagy)/(kicsi) = (a*λ)/a = λ`, tehát valóban a*λ lesz (és ez általában is igaz lesz; ha kisebből akarunk nagyobbat csinálni, akkor az oldalakat csak be kell szorozni a hasonlósági tényezővel (ha az nagyobb 1-nél), ha viszont kisebbet, akkor (érthető módon) osztani kell).
Ebben az esetben a
kisebb négyzet területe: `a*a=a²`
nagyobb négyzet területe: `(a*λ)*(a*λ)=a²*λ²`
Látható, hogy a nagyobb négyzet területe valóban a kisebb négyzet területének λ²-szerese, tehát a nagyobb négyzet területét nemes egyszerűséggel úgy kapjuk meg a kisebbikéből, hogy megszorozzuk a hasonlósági arány négyzetével (ha pedig a nagyobból akarjuk a kisebbet, akkor osztani kell).
Még egyszer mondom; mivel darabolással mindig négyzet kapható (elméletben, mert gyakorlatban a legtöbb esetben végtelen sok vágásra lenne szükség, de ez bőven elég), ezért elég a négyzetre megnézni, hogy mi történik, viszont ugyanez a levezetés (vagyis hogy az arányból indulunk ki) mindegyik síkidomra ugyanúgy történik. Például;
-háromszög esetén a területképlet `(a*m)/2`. Ha a hasonlóság aránya λ>1 itt is, akkor a nagyobb háromszög oldala a*λ nagyságú, a magassága m*λ, így területe: `((a*λ)*(m*λ))/2 = ... = (a*m)/2*λ²`, tehát látható, hogy itt is a λ²-szeresére változott a terület.
-a kör területe `r²*π`. Ha vesszünk az r*λ sugarú kört, akkor a területe `(r*λ)²*π=r²*π*λ²`, tehát itt is megjelent a λ² szorzó, emiatt a terület itt is λ²-szeresére nőtt.
Nagy vonalakban, szinte teljes egészében, erről szól a hasonlóság.