Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Bizonyítás
annamária53
kérdése
471
Bizonyítsuk be, hogy ha A, B, C események páronként függetlenek és A
független B ∪ C-től, akkor A, B, C teljesen függetlenek!
független B ∪ C-től, akkor A, B, C teljesen függetlenek!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Tehát tudjuk, hogy:
`P(AB)=P(A)·P(B)`
`P(BC)=P(B)·P(C)`
`P(AC)=P(A)·P(C)`
`P(A(B∪C))=P(A)·P(B∪C)`
Tudjuk, hogy `P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(BC)`
Most a fentiek miatt `P(A(B∪C))=P(A)·P(B∪C)=P(A)·(P(B)+P(C)-P(BC))=`
`=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C)=`
`=P(AB)+P(AC)-P(A)P(B)P(C)`
Másrészt azt is tudjuk, hogy `A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)`
(`A∩B` és `AB` ugyanaz)
És ezért `P(A(B∪C))=P(AB ∪ AC) = P(AB)+P(AC)-P(AB·AC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)`
Ezt összevetve az előző eredménnyel:
`P(ABC)=P(A)P(B)P(C)`
... ezt kellett bizonyítani.
`P(AB)=P(A)·P(B)`
`P(BC)=P(B)·P(C)`
`P(AC)=P(A)·P(C)`
`P(A(B∪C))=P(A)·P(B∪C)`
Tudjuk, hogy `P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(BC)`
Most a fentiek miatt `P(A(B∪C))=P(A)·P(B∪C)=P(A)·(P(B)+P(C)-P(BC))=`
`=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C)=`
`=P(AB)+P(AC)-P(A)P(B)P(C)`
Másrészt azt is tudjuk, hogy `A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)`
(`A∩B` és `AB` ugyanaz)
És ezért `P(A(B∪C))=P(AB ∪ AC) = P(AB)+P(AC)-P(AB·AC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)`
Ezt összevetve az előző eredménnyel:
`P(ABC)=P(A)P(B)P(C)`
... ezt kellett bizonyítani.
0
-
annamária53: Köszönöm! 5 éve 0