Igazából ha
y'=0 (tehát konstans függvény)
Akkor pont igazzá teszi az egyenletet..

Ez egy hiányos másodrendű nem lineáris differenciálegyenlet.
Hiányzik az x belőle.

Szóval valahogy úgy érdemes elkezdeni, hogy az y' = p helyettesítést alkalmazzuk, így elsőrendűre vissza tudjuk vezetni, ami reményeink szerint szeparábilis lesz.

dy/dx = p(y), tehát lényegében az új diffegyenletünk `y`-tól fog függeni, nem `x`-től.
Vegyük észre, hogy az `y'' = (d(dy/dx)) / dx = (d p(y) )/dx`, ami egy összetett függvény deriválása, ami meg: `(dp(y)) /dy * dy/ dx = p'(y) * p(y)`, ahol a `p'(y)` már az `y` szerinti derivált.
Így ez adódik, ahol az `y` a független változó, `p(y)` a függvény!
`2yp - p'p = 0`
Látható, hogy `p = 0` megoldás, ekkor a `dy /dx = 0 => y` = konstans megoldás. (Persze ez az eredetiből is látszott)
Ha `p≠0`, akkor meg:
`2y- p' = 0` mert p-vel leoszthatunk.
`p' = 2y`

`p = dy / dx = y^2 +C_1 = y'` szeparábilis adódik
Ami meg:
`dy / (y^2 + C_1) = dx`
Itt észrevesszük, hogy az `1/(y^2 + C_1)` az az arctg deriváltjára hasonlít.
Az meg `"arctg"'(x) = 1/(1+x^2)`, hogy hasonló alakra hozzuk, a nevezőt átalakítjuk
`y^2 + C_1` ; `C_1`-t kiemelünk a nevezőből
`C_1*(y^2/C_1 + 1)` bevisszük a négyzet alá a `1/C_1`-t
`C_1 * ((y/sqrt(C_1))^2 +1)` lesz a nevező
A tört pedig `1 / (C_1*((y/sqrt(C_1))^2 +1))`
Ennek az integrálja pedig
`1/C_1*("arctg"(y/sqrt(C_1)))/ (1/sqrt(C_1)) + C_2 = x`
Látható, hogy `C_1/sqrt(C_1) =sqrt(C_1)`
viszont nekünk az `y` kell
tehát
`"tg"( (x-C_2)*sqrt(C_1)) = y/sqrt(C_1)`
Tehát
`y = sqrt(C_1) * "tg"( (x-C_2)*sqrt(C_1) )`
Ahol `C_1,C_2` konstansok.

Remélem jó, és értető.