Szia!
A probléma picit egyszerűsíthető úgy, hogy egy negyed kört veszünk, félbevágjuk a félkörünket, és arra illesztünk egy téglalapot, aminek az egyik csúcsa a kör közepe, vagyis az eredeti problémát félbe vágjuk. Miért jó ez nekünk? Mert szimmetrikus a dolog, ezért elég csak a felét kiszámolni, hiszen ha megtaláljuk a felének a minimumhelyét, akkor az az egésznek is a minimum helye, mivel egy konstans szorzó van a kettő között.
Tehát a félkör sugara 10 méter.
Ha berajzolunk egy téglalapot, akkor az alsó oldala legyen p hosszú, a másik oldala legyen q magas.
A p és a q közötti kapcsolat meg a körre jellemző egyenlet/függvény kapcsolat.
Tudjuk, hogy a kör egyenlete az r^2 = x^2 + y^2 alap esetben, azaz a sugár négyzet a megfelelő körkoordináták négyzetösszegével egyenlő, ez sima Pitagorasz tétellel adódik.
Ebből kifejezhető az y = f(x) kapcsolat, ami pedig:
y = ±
√ r^2 - x^2
Tehát ha a körre függvényként tekintünk, akkor egy negyed kört, ami a koordinátarendszer I. félsíkjában van, a y =
√ r^2 - x^2 kapcsolat írja le.
p és q paraméterekkel, illetve a sugár behelyettesítésével:
q =
√ 100- p^2
A keresett érték, a minimalizálandó érték a téglalap területe, ami = p*q = p*
√ 100- p^2
Ezt deriválva p szerint, kapjuk:
(1*
√ 100- p^2 ) + (p* (-p)/[
√ 100- p^2 ])
Ennek, ha van szélsőértéke, akkor a szélsőértéknél a derivált az 0. Tehát átrendezve:
(
√ 100- p^2 ) -p^2/[
√ 100- p^2 ] = 0
(
√ 100- p^2 ) = p^2/[
√ 100- p^2 ]
nevezővel szorozva, (figyeljünk, hogy 100-p^2 > 0, tehát p < 10, ami jogos, hiszen 10 a kör sugara)
100 - p^2 = p^2 adódik
100 = 2*p^2
50 = p^2
Az, hogy ez szélsőérték, az vagy mégegy deriválással ellenőrizhető.
Így a q =
√ 50 = p, tehát lényegében egy négyzet a negyed körön a maximális területű.
Így az eredeti problémára visszatérve, a téglalap alsó, félkör-átmérőn levő oldala 2*
√ 50 , magassága pedig
√ 50 .