Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Matematika

332
1.feladat: Táliafalván új színházat építenek. A színpadot egy félkör alakú alapra szeretnek építeni úgy, hogy a téglalap alakú színpad egyik oldala illeszkedjék a félkör átmérőjére a területe pedig a lehető legnagyobb legyen. Mekkorák legyenek a téglalap oldalai, ha a félkör átmérője 20 méter?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matematika
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Szia!

A probléma picit egyszerűsíthető úgy, hogy egy negyed kört veszünk, félbevágjuk a félkörünket, és arra illesztünk egy téglalapot, aminek az egyik csúcsa a kör közepe, vagyis az eredeti problémát félbe vágjuk. Miért jó ez nekünk? Mert szimmetrikus a dolog, ezért elég csak a felét kiszámolni, hiszen ha megtaláljuk a felének a minimumhelyét, akkor az az egésznek is a minimum helye, mivel egy konstans szorzó van a kettő között. :)

Tehát a félkör sugara 10 méter.
Ha berajzolunk egy téglalapot, akkor az alsó oldala legyen p hosszú, a másik oldala legyen q magas.
A p és a q közötti kapcsolat meg a körre jellemző egyenlet/függvény kapcsolat.
Tudjuk, hogy a kör egyenlete az r^2 = x^2 + y^2 alap esetben, azaz a sugár négyzet a megfelelő körkoordináták négyzetösszegével egyenlő, ez sima Pitagorasz tétellel adódik.
Ebből kifejezhető az y = f(x) kapcsolat, ami pedig:
y = ±  r^2 - x^2 
Tehát ha a körre függvényként tekintünk, akkor egy negyed kört, ami a koordinátarendszer I. félsíkjában van, a y =  r^2 - x^2  kapcsolat írja le.
p és q paraméterekkel, illetve a sugár behelyettesítésével:
q =  100- p^2 

A keresett érték, a minimalizálandó érték a téglalap területe, ami = p*q = p* 100- p^2 
Ezt deriválva p szerint, kapjuk:
(1* 100- p^2  ) + (p* (-p)/[ 100- p^2 ])
Ennek, ha van szélsőértéke, akkor a szélsőértéknél a derivált az 0. Tehát átrendezve:
( 100- p^2  ) -p^2/[ 100- p^2 ] = 0
( 100- p^2  ) = p^2/[ 100- p^2 ]
nevezővel szorozva, (figyeljünk, hogy 100-p^2 > 0, tehát p < 10, ami jogos, hiszen 10 a kör sugara)
100 - p^2 = p^2 adódik
100 = 2*p^2
50 = p^2
Az, hogy ez szélsőérték, az vagy mégegy deriválással ellenőrizhető.
Így a q =  50  = p, tehát lényegében egy négyzet a negyed körön a maximális területű.
Így az eredeti problémára visszatérve, a téglalap alsó, félkör-átmérőn levő oldala 2* 50 , magassága pedig  50 .
0

A felezés helyett inkább "fújjuk fel" a problémát. :-)

Tekintsünk egy teljes kört: ekkor a feladatunk egy körbe írható legnagyobb téglalap megtalálása, melynek ismerjük az átlóit.
A téglalap területe ebben az esetben legegyszerűbben a
T = d²*sinφ/2
képlettel számolható.
Mikor lesz a terület a legnagyobb?
Akkor, ha szinusz érték a legnagyobb, vagyis ha
sinφ = 1
Ez φ = 90°esetén áll fenn, vagyis ha az átlók merőlegesek egymásra!
Az ilyen téglalapot viszont úgy hívják: négyzet, melynek az oldala R*√2 hosszúságú.

Nekünk ennek az alakzatnak a fele kell, így a félkörbe írható legnagyobb téglalap oldalai:
A hosszabbik oldal
a = R*√2
a rövidebbik ennek a fele
b = R/√2
Ezekkel a téglalap területe
T = a*b
T = R²
0