Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Egybevágóság bizonyítása.

573
Bizonyítsd be, hogy két egyenlő szárú háromszög egybevágó, ha alapjukban és a hozzájuk tartozó magasságukban egyenlőek.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Mivel az egyenlő szárú háromszög területét úgy számoljuk ki, hogy (alap*magasság)/2, így a 2 háromszög egyenlő lesz. A területet azért így számoljuk ki, mert ha egy négyszöget rajzolunk köré, melynek területe m*a, (tehát az alap megegyezik a négyzet a oldalával, és a háromszög alapon fekvő csúcsaiból a magasság hosszával megenyező hosszúságú vonal lesz a négyszög másik oldala) pont az eredeti háromszög kétszeresét kapjuk. Ez azért van, mert a magasságvonal 2egyenlő téglalapra osztja a négyzetünket, és a téglalap átlója lesz a háromszög szára. Mivel az átló felezi a téglalap területét, ezért Háromszög és a négyzet háromszögön kívüli területei megegyeznek. Ezért kell elosztani az alap és a magasság szorzatát kettővel ahhoz, hogy megkapjuk a háromszög területét.
0

Az elsőnek jó a gondolatmenete, de sajnos nem elég; attól, hogy a két háromszög területe egyenlő, abból nem következik, hogy a két háromszög egybevágó lenne, elvégre végtelen sok háromszög rajzolható, amelyeknek területe megegyezik, mégsem egybevágóak. Első megközelítésben persze jó,mivel ha a területek nem egyeznének meg, az már kizárná, hogy egybevágóak legyenek, de ennél több kell.
Először is; mikor egybevágó két háromszög? Akkor, ha
1. szögeik páronként egyenlő nagyságúak
2. oldalaik páronként egyenlő hosszúak.
Ha az egyiket meg tudjuk mutatni, abból egyenes következik a másik is, ez a háromszögek sajátos tulajdonsága (négyszögekre ez már nem fog állni, például a négyzet-téglalap, vagy a négyzet-rombusz esete miatt).
A bizonyítás sokkal drámaibb; a magasságvonal két derékszögű háromszögre bontja a háromszöget, ráadásul ezek még egybevágóak is. A derékszögű háromszög átfogóját Pitagorasz-tételéből adódan ki tudjuk számolni, ami egyben az egyenlő szárú háromszög szára is. Látható, hogy így a szárak hossza is ugyanakkora lesz, tehát az egyenlő szárú háromszögek egybevágóak.
Az ábrán jobban látszik.
0