Határozatlan integrál:
∫(u + 1)^2/u du
---------------------------
(u + 1)^2/u, legyen s = u + 1 és ds = du:
= ∫ s^2/(s - 1) ds
s^2/(s - 1)-t szétbontod:
= ∫(s + 1/(s - 1) + 1) ds
Tagonként integrálod az összeget:
= ∫ s ds + ∫1/(s - 1) ds + ∫1 ds
s integrálja s^2/2:
= s^2/2 + ∫1/(s - 1) ds + ∫1 ds
1/(s - 1)-re, legyen p = s - 1 és dp = ds:
= s^2/2 + ∫1/p dp + ∫1 ds
1/p integrálja log(p):
= s^2/2 + log(p) + ∫1 ds
1 integrálja s:
= log(p) + s^2/2 + s + konstans
Visszahelyettesítesz: p = s - 1:
= s^2/2 + s + log(s - 1) + konstans
Visszahelyettesítesz s = u + 1:
= 1/2 (u + 1)^2 + u + log(u) + 1 + konstans
(u + 1)^2-t felbontva:
= 1/2 (u^2 + 4 u + 2 log(u) + 3) + konstans
Ami u-ra:
= 1/2 u (u + 4) + log(u) + konstans

Szia!
Az integrálnál szerintem erre gondolhattál: 1 / (u*(u+1)^2)
Az előző válaszolónak jó a megoldása, ha a számlálóban van az (u+1)^2

Ennek a másik integrálnak a megoldása:
1/ polinom típusú, szóval parciális törtekre kell bontani, így 1 / elsőfokú tagokat kapunk, amelyek logaritmussal visszaírhatóak.

Kezdjük a parciális törtekre bontással:
1/u*(u+1)^2 előáll A/u + B/(u+1) + C/(u+1)^2 alakban.

Ha közös nevezőre hozzuk a jobb oldalt, akkor adódik:
[ A(u+1)^2 + Bu*(u+1) + Cu ] / [ u * (u+1)^2] = 1 / [ u* (u+1)^2]
lényegében u = 0, és u = -1 helyettesítésekkel ( a nevezőket nem nézzük, azt nézzük, hogy a számlálók egyenlőek legyenek)
látható, hogy u = 0 esetén: A*1 = 1 #
u = -1 esetén: -C = 1 => C = -1 #
és egy harmadik, random u, mondjuk u = 1 esetén:
A(2)^2 + B* 1*(1+1) + C = 1
Azaz 4 +2B -1 = 1,
B = -1 #
Így 1/u - 1/(u+1) -1/(u+1)^2 tagokra jutottunk
Ezeket tagonként integrálva, u szerint:
∫1/u du = ln | u | + C
∫-1/(u+1) = ln [u +1] + C
∫-1/(u+1)^2 = 1/(u+1) + C
A végeredmény: ln [u / (u+1)| + 1/(u+1) + C

Így a megoldás


Homogén fokszámű diffegyenletre gondolsz?
Mert van simán homogén differenciálegyenlet, és homogén együtthatós is. De a kezdeti érték problémákról írok pár sort, úgy szemléletesebben, általánosabban.

Lényegében egy differenciálegyenlet során megoldásként nem egy számot keresünk ugyebár, hanem egy függvényt. Ugye differenciálegyenlet az, amiben egy függvény, és deriváltjai szerepelnek, illetve a függvényváltozók, és ez alapján ki akarjuk találni, mi az a függvény, amit behelyettesítve teljesül. Pl. y(x) ' = c*y(x), ennek a megoldása az e^(c*x), hiszen (e^(c*x)' = c*e^x
Általában egy differenciálegyenletnek végtelen sok megoldása van, hiszen a deriválás, mint művelet, eltünteti a konstansokat, ezért ha jellegére egy megoldásunk is van, pl. e^x alakú valami, a megoldások konstansban eltérhetnek.
Ennek fizikai tartalma (is) van.
Gondoljunk csak az út- sebesség- gyorsulás grafikonokra, az idő függvényében. Közöttük átjárás az integrálás, deriválás művelet.
Az út-idő függvénynél pontosan meg tudjuk mondani a pozíciónkat, viszont ezt idő szerint deriválva, pl. s(t) = 3*t^2 + 10 az űt idő összefüggés, akkor a sebesség időt kapjuk, ami v(t) = 6*t. És eltűnt a konstans, a 10. Tehát a sebességnél elveszítjük azt az információt, hogy honnan indultunk, mi a pontos pozíciónk, csak a megváltozásról tudunk nyilatkozni.
Visszatéréskor, intergráláskor az a +C konstans nem véletlen. A primitív függvénnyel ugye visszakapjuk az összefüggés jellegét, hogy a sebesség -idő ismeretében milyen az út-idő, viszont azt, hogy honnan indultunk, mi a viszonyítási alap, azt nekünk kell hozzáadni a +C formájában. Mert ha négyzetesen változik az út-idő függvény, a sebességünk lineárisan nő, mindegy, hogy a város közepében történik ez, vagy pár utcával arrébb.
Nos, ugyan ez a helyzet a differenciálegyenleteknél is. Jellemzően a legtöbb jól leír egy fizikai jelenséget, mozgást, folyamatot. A kezdeti értékek meg azok a konstansok, amik megmondják, hogy Pali a földtől 5 méter magasan engedte el az ingát.

A kezdeti feltétel a végtelen sok megoldás közül kijelöli pontosan azt az egy megoldást, ami a kívánt "folyamatunk" jellemzi. Mert a valóságban valahonnan indul egy folyamat, és ha adott időben ránézek, akkor valahol tart az a folyamat.
A lényeg: Először meg kell oldani a differenciálegyenletet, és ha megvan a keresett függvény, lényegében be kell helyettesíteni.

Egy egyszerű példa:
y(x) a keresett függvény
y(x)'' = 0 a differenciálegyenletünk.
Akkor ez két integrálással megoldható. 0 integrálja az konstans.
y(x)' = C1, majd y(x) = C1*x + C2
Tehát ez a differenciálegyenlet elsőfokú görbéknek a megoldáshalmaza.
Fizikai példát nézve, ez a differenciálegyenlet minden olyan mozgásnak a differenciálegyenlete, aminek a gyorsulása 0.
Elég sok ilyen mozgás létezik, olyan végtelen sok. Kezdeti érték probléma legyen:
A testet 10 m kezdőpozícióból indítom, és 5 másodperc alatt 5 m -el távolodik. Ez egy kezdeti érték probléma.
így a t = 0 időpillanatban y(0) = C1*0 + C2 = C2 = 10 m. A kezdeti állapot (tudtommal) mindig t = 0, ahonnan a folyamat indul.
Az, hogy 5 mp alatt 5 m-el változik a pozíciója, az azt jelenti, hogy t = 5 s-nél 15 m-nél lesz.
y(5) = C1*5 +10 = 15 => C1 = 1 m/s
Lényegében így néz ki egy egyszerű differenciálegyenlet, és kezdeti érték problémájának megoldása.