Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Logaritmusos egyenlőtlenség

581
log₁₇(3x-4)<1
3>log₁/₂(2x-1)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
1. Először kikötést írunk: pozitív szám logaritmusa értelmezett, így 3x-4>0, vagyis x>4/3.

Átírjuk a bal oldalt 17-es alapú logaritmusra: 1=log₁₇(17), tehát
log₁₇(3x-4)<log₁₇(17)
Azt kell tudni, hogy a log₁₇(x) szigorúan monoton növő (nagyobb szám 17-es alapú logaritmusa nagyobb), ezért akkor teljesül az egyenlőtlenség, ha nagyobb logaritmusán belül nagyobb szám található, tehát

3x-4<17, erre x<7 adódik. Összevetve a kikötéssel, x∈(4/3;7) mindkét oldalon nyílt intervallum adódik. Relációkkal: 4/3<x<7.

2. Szintén kikötéssel kezdünk: 2x-1>0, vagyis x>1/2.
Átírjuk a 3-at 1/2 alapú logaritmusra: 3=log1/2((1/2)³)=log1/2(1/8)

Az 1/2 alapú logaritmusról azt kell tudni, hogy szigorúan monoton csökkenő, vagyis nagyobb szám logaritmusa kisebb, ezért a reláció akkor lesz igaz, ha a nagyobb logaritmus száma kisebb (tehát fordul a reláció):

1/8<2x-1, erre 9/16<x adódik. Összevetve a kikötéssel, 9/16<x eredményt kapjuk megoldásul. Intervallummal így néz ki: x∈(9/16;∞) mindkét oldalon nyílt intervallum.

Ha a logaritmus alapja 0 és 1 közé esik, akkor mindig csökkenő, ha 1-nél nagyobb, akkor növő (akárcsak a hatványoknál; ha a hatvány alapja 0 és 1 közé esik, akkor nagyobb kitevő esetén kisebb számot kapunk, ha az alap nagyobb 1-nél, akkor nagyobb kitevő esetén nagyobb lesz a szám).
0