Elsô lépés

Második

Maradjunk a √ 4i-21  alaknál, csak hogy egész számokkal számolhassunk.
Négyzetgyököt még könnyen tudunk algebrailag vonni, nem szükséges a trigonometrikus/exponenciális alak.
Tegyük fel, hogy a gyökvonás eredménye szintén komplex lesz, ekkor viszont felírható `a+bi` alakban, ahol `a;b` valós számok. Tehát:

√ 4i-21 `=a+bi`, négyzetre emelünk:
`4i-21 = a²+2abi-b²`
Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő egymással, hogyha a valós és képzetes részeik megegyeznek.
Valós részek: `-21 ; a²-b²`
Képzetes részek: `4 ; 2abi `
Tehát ezeket az egyenleteket kapjuk:
`-21 = a²-b²`
`4 = 2ab`
Ez egy egyenletrendszer, amit meg tudunk oldani. A második egyenletből `2/a=b` adódik, ezt visszaírjuk az első egyenletbe:
`-21 = a² - (2/a)²`, zárójelet bontunk és szorzunk `a²`-tel:
`-21*a² = a⁴ - 4`
Ez egy másodfokúra visszavezethető egyenlet, amelynek valós megoldásai kellenek. Ha ezek megvannak, akkor abból b értéke is meglesz, így megkapjuk azt a két számot, amelyeknek négyzete 4i-21.