Szabályos háromszög

Komment a feladathoz.

Még azt is ki kéne találni, hogy mennyi a szabályos háromszög oldala!

Itt a megoldás:
https://www.geogebra.org/m/jnzsvmta

Ez egy nagyon szép és tanulságos feladat, amit sokkal könnyebb szerkesztéssel, mint számítással megoldani, mert a megoldás meglepően egyszerű.
Megpróbálok egy rajzot összeütni és majd azzal jelentkezem.

Nem tudom, hogyan szerkeszthette szzs. Valószínű DeeDee is egy másik szerkesztést fog adni. Én meg talán egy harmadikat:
https://www.geogebra.org/classic/ftstbqqq
Azon alapul, hogy azon pontok mértani helye, amiknek két ponttól való távolságának aránya állandó `a/b` érték (`a < b`), az egy kör, aminek a sugara `(ab)/(b-a)`. Két ilyen kör metszi ki a P pontot.
Szóval megszerkeszteni megtudtam, de csak megmérni lehet így, hogy tényleg 150° az a szög...

Koszinusz-tétel segítségével algebrai úton egy háromismeretlenes egyenletrendszer, amelynek gyökei az oldallal és a két legnagyobb szögekkel: √(25+12 √(3)), arctg(1/7)+7pi/12 ill. 5pi/6. (A harmadik szög pedig 7pi/12-arctg(1/7))

Amikor a feladatot elolvastam, csináltam egy rajzot, amin behúztam a P ponton átmenő, a háromszög oldalaival párhuzamos egyeneseket. Az így keletkező ábra adhat új ötleteket...
Behúzva a PA, PB, PC szakaszokat látszott, hogy ezek a létrejött paralelogrammák átlójai.
Aztán a gyanús 3-4-5 trión gondolkodtam el. Biztos nem véletlen az értékük, és ha sikerülne valamilyen konstrukcióban összehozni...
Nézve a Pa (zöld) és Pb (sárga) paralelogrammát feltünt, hogy a rövidebb oldaluk ugyakkora... Ha a P pont körül a Pb-t elfordítom 60°-kal negatív irányban... Megrajzoltam az új helyén és bal oldalt keletkezett egy 'z' és 'y' méretű tört vonal. Pár másodperc volt rájönni, ezek a harmadik, a Pc (kék) paralelogramma méretei!
Berajzoltam ezt is, és teljes lett a kép!

Egy idézet ugrott be:
"Én úgy vagyok, hogy már száz ezer éve
nézem, amit meglátok hirtelen.
Egy pillanat s kész az idő egésze,..."
/József Attila: A Dunánál/

Az ábra linkje
https://i.imgur.com/vsxlJGq.png

Az ismert átlókból összeállt egy háromszög és látszott, hogy a feladat kérdésére a válasz:
Az APB szög = γ + 60°.
A feladat adataiból adódik, hogy γ egy pitagorászi háromszög derékszöge, ezért
a APB szög = 90 + 60 = 150°
=======================
Alig akartam elhinni, hogy ilyen egyszerű.

Tovább szemlélve feltűnt, hogy a három paralelogramma találkozásánál létrejött D pontot a
háromszög csúcsaival összekötő szakaszok -x, y, z - összege megadja az eredeti háromszög olalának hosszát! Itt a álasz egy mellékes kérdésre!
Mi minden van még ebben a háromszögben?
Néztem a D pontot, a csúcsokhoz húzott szakaszokat ... aztán megláttam: a D pontból a háromszög minden oldala 120°-os szögben látszik!
Tudtam, hogy ez egy nevezetes pont, de a neve nem ugrott be. Némi kutakodás a neten, s megvolt a válasz: a D pont a háromszög izogonális - azonos szögű - pontja!
Erről bővebben a
http://gorbem.hu/MT/Izogonalis1.htm
linken lehet olvasni.

Ha belegondolok, hogy mindezen információ, válasz két idom egyszerű transzformációi segítségével állt elő, akkor csak szeretni lehet a matematikát. :-)
Meg talán arra is ösztönözhet egy megoldás megszületésének története, hogy nem kell mindig a sablonokhoz ragaszkodni, egy más nézőpont hamarabb hoz sikerélményt.
"Egy hegyet körbe járva mindig másnak látszik, de a hegy ugyanaz marad"
/A volt filozófia gyakvezérem mondása/