Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Valószínűség
Saci
kérdése
1193
A) Legalább hányszor kell feldobnunk egy szabályos dobókockát ahhoz, hogy legalább 1/2 valószínűséggel, legalább egyszer hatost dobjunk?
B) Péter egy szabályos dobókockát az első hatos dobásig dobált. Az egyes dobások eredményének gyakoriságáról az alábbi feljegyzéseket készítette: két-két alkalommal dobtam 1, illetve 2. 4est egyszer dobtam. Háromszor Annyi ötöst dobtam, mint hármast. Az összes dobott szám átlaga 3,4. Számítsa ki az adatok átlagtól való átlagos abszolút eltérés!
B) Péter egy szabályos dobókockát az első hatos dobásig dobált. Az egyes dobások eredményének gyakoriságáról az alábbi feljegyzéseket készítette: két-két alkalommal dobtam 1, illetve 2. 4est egyszer dobtam. Háromszor Annyi ötöst dobtam, mint hármast. Az összes dobott szám átlaga 3,4. Számítsa ki az adatok átlagtól való átlagos abszolút eltérés!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
A) Klasszikus valószínűségi modellel:
Tegyük fel, hogy n dobád történik, ekkor:
Összes eset: `6ⁿ`
Kedvező eset: előbb számoljuk ki azt, hogy hány esetben nem lesz 1 darab hatod sem, ez `5ⁿ`, tehát `6ⁿ-5ⁿ` esetben lesz legalább 1 darab 6-os.
Valószínűség: `(6ⁿ-5ⁿ)/6ⁿ = ... = 1-(5/6)ⁿ`
Azt szeretnénk, hogyha ez legalább 1/2 lenne, tehát:
`1-(5/6)ⁿ ≥ 1/2`, rendezzük:
`1/2 ≥ (5/6)ⁿ`, vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát:
`lg(1/2) ≥ lg((5/6)ⁿ)`, most tudjuk használni az lg(aⁿ)=n*lg(a) azonosságot:
`lg(1/2) ≥ n*lg(5/6)`, számoljuk ki a konstansok értékét:
`-0,301 ≥ n*(-0,079)`, osztunk -0,079-vel, ekkor fordul a reláció:
`3,81 ≤ n`, tehát legalább 4 dobásra van szükség a legalább 1/2-es valószínűségre.
Mivel kerekítéssel kellett számolnunk, érdemes megnézni a szomszédokra is, hogy ez jön-e ki;
n=3-ra a valószínűség: `(6³-5³)/6³=91/216`, ami kisebb, mint `108/216`
n=4-re a valószínűség: `(6⁴-5⁴)/6⁴=671/1296`, ami nagyobb, mint `648/1296`
n=5-re a valószínűség: `(6⁵-5⁵)/6⁵=4651/7776`, ami nagyobb, mint `3888/7776`
Tehát az n=4 tényleg jó lesz.
Másik megoldás;
minden dobással `1/6` valószínűséggel dobunk 6-ost, így `5/6` valószínűséggel ettől különbözőt. Annak a valószínűsége, hogy nem dobunk 6-ost n dobás alatt, `(5/6)ⁿ`, így `1-(5/6)ⁿ` a valószínűsége annak, hogy lesz legalább 1 6-os. Innentől a számolás ugyanúgy megy,mint fent ment.
Tegyük fel, hogy n dobád történik, ekkor:
Összes eset: `6ⁿ`
Kedvező eset: előbb számoljuk ki azt, hogy hány esetben nem lesz 1 darab hatod sem, ez `5ⁿ`, tehát `6ⁿ-5ⁿ` esetben lesz legalább 1 darab 6-os.
Valószínűség: `(6ⁿ-5ⁿ)/6ⁿ = ... = 1-(5/6)ⁿ`
Azt szeretnénk, hogyha ez legalább 1/2 lenne, tehát:
`1-(5/6)ⁿ ≥ 1/2`, rendezzük:
`1/2 ≥ (5/6)ⁿ`, vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát:
`lg(1/2) ≥ lg((5/6)ⁿ)`, most tudjuk használni az lg(aⁿ)=n*lg(a) azonosságot:
`lg(1/2) ≥ n*lg(5/6)`, számoljuk ki a konstansok értékét:
`-0,301 ≥ n*(-0,079)`, osztunk -0,079-vel, ekkor fordul a reláció:
`3,81 ≤ n`, tehát legalább 4 dobásra van szükség a legalább 1/2-es valószínűségre.
Mivel kerekítéssel kellett számolnunk, érdemes megnézni a szomszédokra is, hogy ez jön-e ki;
n=3-ra a valószínűség: `(6³-5³)/6³=91/216`, ami kisebb, mint `108/216`
n=4-re a valószínűség: `(6⁴-5⁴)/6⁴=671/1296`, ami nagyobb, mint `648/1296`
n=5-re a valószínűség: `(6⁵-5⁵)/6⁵=4651/7776`, ami nagyobb, mint `3888/7776`
Tehát az n=4 tényleg jó lesz.
Másik megoldás;
minden dobással `1/6` valószínűséggel dobunk 6-ost, így `5/6` valószínűséggel ettől különbözőt. Annak a valószínűsége, hogy nem dobunk 6-ost n dobás alatt, `(5/6)ⁿ`, így `1-(5/6)ⁿ` a valószínűsége annak, hogy lesz legalább 1 6-os. Innentől a számolás ugyanúgy megy,mint fent ment.
Módosítva: 5 éve
0
- Még nem érkezett komment!