Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Diff.egyenlet
Sipka Gergő
{ Tanár } kérdése
301
Valaki letudná vezetni a rezgőmozgás diff egyenletét? Mármint, a megoldásra lenne szükségem, hogy hogy jön ki pl. a kitérés féle függvény.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
A rugóerő `x` megnyúláskor ekkora:
`vec F=-D·vecx`
Tudjuk, hogy `v=(dx)/(dt)=x'` és `a=(d^2x)/(dt^2)=x''`
Newton II törvénye: `F=m·a`
`m·x''=-D·x`
`m·x''+D·x=0`
Feltételezve az `x=e^(λt)` megoldást ez a karakterisztikus egyenlet:
`m·λ^2+D=0`
Ennek a megoldása:
`λ_(12)=(0+-sqrt(0-4mD))/(2m)=+-i·sqrt(D/m)`
Komplex gyök lett, tehát a diffegyenlet két megoldása a szinusz és a koszinusz, az általános megoldása pedig azok lineáris kombinációja:
Legyen `sqrt(D/m)=ω`
`x=A_1·cos(ωt)+A_2·sin(ωt)`
amit lehet egy szinusszá alakítani:
`x=A·sin(ωt+φ)`
(ahol `A_1=A·sinφ` és `A_2=A·cosφ`)
Hogy mennyi `A` és `φ` értéke, az a peremfeltételektől függ (vagyis hogy milyen messzire húzzuk ki a rugót és mikor van a `t=0`)
`vec F=-D·vecx`
Tudjuk, hogy `v=(dx)/(dt)=x'` és `a=(d^2x)/(dt^2)=x''`
Newton II törvénye: `F=m·a`
`m·x''=-D·x`
`m·x''+D·x=0`
Feltételezve az `x=e^(λt)` megoldást ez a karakterisztikus egyenlet:
`m·λ^2+D=0`
Ennek a megoldása:
`λ_(12)=(0+-sqrt(0-4mD))/(2m)=+-i·sqrt(D/m)`
Komplex gyök lett, tehát a diffegyenlet két megoldása a szinusz és a koszinusz, az általános megoldása pedig azok lineáris kombinációja:
Legyen `sqrt(D/m)=ω`
`x=A_1·cos(ωt)+A_2·sin(ωt)`
amit lehet egy szinusszá alakítani:
`x=A·sin(ωt+φ)`
(ahol `A_1=A·sinφ` és `A_2=A·cosφ`)
Hogy mennyi `A` és `φ` értéke, az a peremfeltételektől függ (vagyis hogy milyen messzire húzzuk ki a rugót és mikor van a `t=0`)
Módosítva: 5 éve
0
- Még nem érkezett komment!