Egy sorozat jó lesz?

Bizonytalan vagyok, mert sosem tanultam ilyen funkcionális egyenleteket...

`f(3x)=(2x+1)f(x)`

Kezdjünk harmadolni:
`f(x)=((2x)/3 +1)f(x/3)`
`f(x/3)=((2x)/3^2 +1)f(x/3^2)`
`f(x/3^2)=((2x)/3^3 +1)f(x/3^3)`
Egy sorban írva:
`f(x)=((2x)/3 +1)((2x)/3^2 +1)((2x)/3^3 +1)f(x/3^3)`

Az `n`-edik tagig lemenve ezt kapjuk:
`f(x)=(prod_(k=1)^n ((2x)/3^k +1)) f(x/3^n)`

`f(x)=lim_(n→∞) (prod_(k=1)^n ((2x)/3^k +1)) f(x/3^n)=lim_(n→∞) (prod_(k=1)^n ((2x)/3^k +1)) f(0)`
`f(x)=prod_(k=1)^∞ ((2x)/3^k +1)`
Ez a végtelen szorzat pedig konvergál minden `x`-re, szóval (szerintem) van ilyen függvény.

A függvény képe valami ilyesmi egyébként:
-400 .. 200: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+prod_(k%3D1)%5E(20)+(2x%2F3%5Ek+%2B1)+from+x%3D-400+to+200
A negatívoknál szaladgál fel-le, a pozitívnál gyorsan elszáll a végtelen felé.
A zérushelyeket könnyű kitalálni: `x_k=-3^k/2, k ∈ ℕ^+`
Kisebb zoom-mal a nullához közelebb látszódnak is szépen:
-125 .. 35: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+prod_(k%3D1)%5E(20)+(2x%2F3%5Ek+%2B1)+from+x%3D-125+to+35
-42 .. 5: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+prod_(k%3D1)%5E(20)+(2x%2F3%5Ek+%2B1)+from+x%3D-42+to+5
-10 .. 5: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+prod_(k%3D1)%5E(20)+(2x%2F3%5Ek+%2B1)+from+x%3D-10+to+5

A fenti linkeken a szorzás csak 20-ig megy, de ez is bőven elég, hisz `1/3^k` gyorsan leszalad. Ki is lehetne számolni, hogy mennyinél kisebb a hiba, de a következő ábra is jól szemlélteti, hogy a 20-tól 1000-ig lévő szorzók kihagyása milyen picit jelent:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+prod_(k%3D20)%5E(1000)+(2x%2F3%5Ek+%2B1)+from+x%3D-10000+to+10000

Másik megoldás: Csináljuk meg a függvény Taylor sorát a 0 körül. A függvény folytonos, látni fogjuk, hogy végtelenszer deriválható is:

`f(0)=1`
Deriváljuk a függvényt:
`3f'(3x)=2f(x)+(2x+1)f'(x) qquad -> qquad 3f'(0)=2+f'(0)`
`qquad qquad qquad -> f'(0)=2/(3-1)`
`3^2f''(3x)=2f'(x)+2f'(x)+(2x+1)f''(x)`
`qquad qquad qquad =4f'(x)+(2x+1)f''(x) qquad -> 3^2f''(0)= 4f'(0)+f''(0)`
`qquad qquad qquad -> f''(0)=(2*4)/((3-1)(3^2-1))`
stb.
Az n-edik derivált:
`3^nf^((n))(3x)=2n*f^((n-1))(x)+(2x+1)f^((n))(x)`
`qquad qquad qquad -> f^((n))(0)=(2n)/(3^n-1)*f^((n-1))(0)=(2^n*n!)/(prod_(k=1)^n 3^k-1)`

Vagyis a Taylor sor:
`f(x)=sum_(n=0)^∞ (2^n)/(prod_(k=1)^n 3^k-1)·x^n`
(Meg kellene nézni a konvergenciatartományt is, de nem foglalkozom most vele)

A függvény képe persze megegyezik a másikkal:
-42 .. 5: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sum(n%3D0+to+10)((prod(k%3D1+to+n)(1%2F(3%5Ek-1)))*x%5En*2%5En)+for+x%3D-42+to+5