Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Sorozatok
Törölt
kérdése
264
Egy Luppa-szigeteken található hétvégi telek gázbevezetéséhez 250 000 Ft hitelt vett fel a tulajdonos 2010.január 1-jén évi 20%-os kamatra. A kölcsönt minden év végén 60 000 Ft befizetésével törlesztik. Mikor fizetik ki az utolsó részletet?(10 év múlva az utolsó részlet kb. 50413 Ft)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
Ebben az esetben egy olyan összeget fogunk kapni minden év végén, amely olyan tagokból állnak, amelyek egyébként mértani sorozatot alkotnak.
Érdemes paraméteresen levezetni, abból jobban látszik;
Legyen a felvett kölcsön értéke A, a kamat miatt mindig k-szorosára változzon év végén a fennmaradó összeg, és T forintot fizessünk vissza, ekkor
1. év végén: `(A-T)*k=A*k-T*k`
2. év végén: `((A*k-T*k)-T)*k=A*k²-T*k²-T`
3. év végén: `((A*k²-T*k²-T)-T)*k=A*k³-T*k³-T*k²-T*k`
4. év végén: `((A*k³-T*k³-T*k²-T*k)-T))*k=A*k⁴-T*k⁴-T*k³-T*k²-T*k`
.
.
.
Ebből már látható, hogy mi a szisztéma; az `n`-edik év végén az `A*kⁿ`-ből kell kivonni T*kⁿ+T*kn-1+...+T*k összeget. Látható, hogy ez egy mértani sorozat, a tanultak szerint ez egy kicsit egyszerűtt alakban felírható; érdemes előbb `T*k`-t kiemelni:
T*k*(kn-1+kn-2+...+T*k²+T*k+1)
Majd a zárójeles részben lévő összegre a tanultak szerint fel lehet írni az összegképletet:
`T*k*(kⁿ-1)/(k-1)`
Akkor fizetjük vissza a kölcsönt, hogyha ez 0, tehát ezt az egyenletet kell megoldanunk:
`A*kⁿ-T*k*(kⁿ-1)/(k-1)=0`
Esetünkben
-A a hitel (alaptőke), tehát A=250.000
-k a kamattal megemelt összeg, amit a tanultak szerint úgy kapunk, hogy 1+kamatláb/100, tehát k=1,2
-T a havi törlesztőrészlet, tehát T=60.000
A behelyettesítések után n-re egyismeretlenes exsponenciális egyenlet marad, amit már meg tudunk oldani.
Érdemes paraméteresen levezetni, abból jobban látszik;
Legyen a felvett kölcsön értéke A, a kamat miatt mindig k-szorosára változzon év végén a fennmaradó összeg, és T forintot fizessünk vissza, ekkor
1. év végén: `(A-T)*k=A*k-T*k`
2. év végén: `((A*k-T*k)-T)*k=A*k²-T*k²-T`
3. év végén: `((A*k²-T*k²-T)-T)*k=A*k³-T*k³-T*k²-T*k`
4. év végén: `((A*k³-T*k³-T*k²-T*k)-T))*k=A*k⁴-T*k⁴-T*k³-T*k²-T*k`
.
.
.
Ebből már látható, hogy mi a szisztéma; az `n`-edik év végén az `A*kⁿ`-ből kell kivonni T*kⁿ+T*kn-1+...+T*k összeget. Látható, hogy ez egy mértani sorozat, a tanultak szerint ez egy kicsit egyszerűtt alakban felírható; érdemes előbb `T*k`-t kiemelni:
T*k*(kn-1+kn-2+...+T*k²+T*k+1)
Majd a zárójeles részben lévő összegre a tanultak szerint fel lehet írni az összegképletet:
`T*k*(kⁿ-1)/(k-1)`
Akkor fizetjük vissza a kölcsönt, hogyha ez 0, tehát ezt az egyenletet kell megoldanunk:
`A*kⁿ-T*k*(kⁿ-1)/(k-1)=0`
Esetünkben
-A a hitel (alaptőke), tehát A=250.000
-k a kamattal megemelt összeg, amit a tanultak szerint úgy kapunk, hogy 1+kamatláb/100, tehát k=1,2
-T a havi törlesztőrészlet, tehát T=60.000
A behelyettesítések után n-re egyismeretlenes exsponenciális egyenlet marad, amit már meg tudunk oldani.
1
-
Törölt: Köszönöm szépen 5 éve 0