Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Sürgős!!

124
Legfeljebb hány egyenest határoz meg a síkon 8 különböző pont?
A megoldás megvan (28), de nem tudom, hogy hogyan kell kiszámolnom :/
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

4
A lehető legtöbb egyenest úgy határoznak meg pontok, hogy nincs olyan 3 pont, amelyik egy egyenesre esne. Ekkor minden 2 pont különböző egyenest határoz meg. Innentől az a kérdés, hogy hány félén tudunk kiválasztani 8 pontból kettőt. Erre a kérdésre van kitalálva az "alatt" művelet, tehát a válasz (kiejtve 8 alatt a 2) `((8),(2))=(8!)/(2!*6!)=(8*7)/2=4*7=28`
0

Másik megközelítés;
első körben két dolgot kell tudnunk;
-pontosan két, különböző pont egyértelműen meghatároz egy egyenest
-a maximumot úgy érhetjük el, hogy 2 pont egyenesére több pont nem esik.
Ha ez meegvan, akkor a következő módon számolhatunk;
Válassunk ki egy pontot. Ezen kívül van 7 másik, ez azt jelenti, hogy ezen az egyenesen 7 pont fog futni, ezeket húzzuk be. Válasszunk ki egy másikat; ehhez a ponthoz már csak 6 újabbat tudunk behúzni (mivel amelyikkel már össze volt kötve, azzal nem határoz meg újabb egyenest), ezeket is húzzuk be. A harmadik ponton keresztül már csak 5-féle egyenes hútható be (mivel 2 már átment rajta, és rajta kívül még 5 pont van). És így tovább; még 4, aztán 3, aztán 2, végül 1 egyenest tudunk behúzni.
Tehát 7+6+5+4+3+2+1=28 darab egyenest tudtunk behúzni.
0

Harmadik megközelítés; most csak azt vizsgáljuk, hogy a pontokon keresztül hány egyenes húzható összesen. Kiválasztunk egy pontot, ezzen nyilván 7 darab egyenes húzható. Kiválasztunk egy másikat, itt ugyanaz igaz lesz, mint az első pont esetén. tehát azon keresztül is 7 egyenes húzható. A harmadik pont esetén szintén igaz lesz ugyanez. Meg az összes többi pontnál is. Ez azt jelenti, hogy 7+7+7+7+7+7+7+7=56 egyenest tudunk a csúcsokon keresztül megszámolni.
Igen ám, de mindegyik egyenes kétszer lett megszámolva, mindkét pontján keresztül, emiatt a fenti összeget osztanunk kell 2-vel, így valójában csak 56/2=28 darab egyenes létezik.
0

Negyedik megközelítés;
Azt mondtuk, hogy az probléma, hogy ha három pont ugyanarra az egyenere esik. Keresni kellene egy olyan elrendezést, amikor ez nem valósul meg. Szerencsére ilyet könnyen találhatunk;rajzoljunk egy szabályos nyolcszöget. Itt már azt is el tudjuk mondani, hogy az egyenesek vagy a nyolccszög oldalai mentén haladnak, vagy az átlói mentén. Eszerint lehet csoportosítani az egyeneseket:
-az oldalak mentén: nyilván ebből 8 van, mivel a nyolcsszögnek 8 oldala van.
-az átlók mentén: elvileg tanultatok valami olyasmit, hogy az n oldalú sokszögnek `n*(n-3)/2` darab átlója van, eszerint `8*(8-3)/2 = 20` átlója van. Ha ezt a képletet esetleg nem ismernénk, akkor érdemes megjegyezni, hogy az átlók ugyanazon analógia mentén összeszámolhatóak, mint amit a harmadik megközelítésben írtam (annyi különbséggel, hogy egy pontból nem 7, hanem 5 átló húzható, mivel önmagába és az oldalszomszédjába nem fut átló), de a második megközelítés szerint is szépen le lehet számolni.
Akárhogy is, 8+20=28 szakaszt, így azokra illeszthető 28 egyenest számoltunk össze.
0