Úgy lehet bebizonyítani, hogy sehogyan... Általánosságban ez nem igaz.

Bizonyítsunk "hátulról, fakéssel"; ugyanez az állítás a koszinuszra könnyen belátható, hogy nem igaz, például:

`cos(x)+cos(√2*x)`

Erről a függvényről nem nehéz belátni, hogy csak az `x=0` helyen veszi fel a 2-t értéknek. Mivel csak egy helyen veszi fel, ezért nem lehet periodikus (remélem, ez nyilvánvaló), ebből következően koszinuszos függvény sem lehet.
Ebből pedig nem nehéz gyártani szinuszos függvényt a `cos(x)=sin(π/2-x)` összefüggés alapján:
`sin(π/2-x)+sin(π/2-√2*x)`
Mivel ez is csak egy helyen veszi fel a 2-t értéknek, ezért ez sem lehet szinuszos függvény.

Általánosságban viszont igaz az, hogy az A*sin(k₁*x)+B*sin(k₂*x) esetén ha A;B≠0 konstans és k₁;k₂≠0 szintén konstans, akkor csak abban az esetben kapunk szinuszos függvényt, hogyha k₁/k₂ racionális. (Esetünkben k₁/k₂=1/√2, ami irracionális, ezért nem működik.)

Érdekes...
Tehát azt tudjuk hogy
Cos(y+360°×k)=Cos(y)
(k=0,1,2,3...)
Ezért elvileg
Cos(y×a)+Cos(y)=
Cos(y×a+360°×k)+Cos(y+360°×k)
Tehát a 360° periódus marad.

Két szinuszos függvény összege nem szinuszos, hanem (bizonyos esetekben) periódikus.

Bizonyára valami olyasmit csinált a tanár, hogy az `A·sin(a·2π·t)` helyett vett egy origó körül forgó `A` hosszú vektort, ami `a` sebességgel forog (egy időegység alatt `a` fordulatot tesz meg). Ennek a függőleges tengelyre vett vetülete éppen a szinusz.
A `B·sin(b·2π·t)` helyett pedig egy `b` sebességgel forgó `B` hosszú vektort, ami az előző vektor csúcsában van, ott forog. Ennek a vektornak a csúcsa jó bonyolult pályát jár be, a csúcsnak a vetülete éppen a két szinusz összege.

Ha ellenben a második vektort is az origó körül forgatjuk, akkor az egyedi szinuszokat kapjuk vetületként. Ezek összege persze ugyanaz, mint a vektor csúcsában forgó másik vektor csúcsának a vetülete.

Az egyszerűség kedvéért legyenek `a` és `b` egész számok. Az időegységet válasszuk meg `1/(ab)` másodpercnek. Ekkor az első vektor `b` időegység alatt fordul egyet, a második pedig `a` egység alatt. Vegyük `a`  és `b` legkisebb közös többszörösét: ennyi időegység múlva lesz mindkét vektor újra a 0 foknál egyszerre, innentől kezdve a forgások megint ugyanazt az utat járják, vagyis éppen ez a periódus hossza. Ilyenkor tehát tényleg periódikus a szinuszok összege!

Valójában nem kell az, hogy `a` és `b` egész számok legyenek, de racionális számoknak kell lenniük; pontosabban az `a/b` tört kell racionális szám legyen, egyébként nincs közös többszörös. Ha `a/b` irracionális, akkor nem periódikus a két szinusz összege.

A gyakorlatban a mérési pontosság elég kicsi ahhoz, hogy minden frekvenciát racionális számnak tekintsünk, tehát úgy látjuk, hogy tetszőleges frekvenciájú két szinuszhullám összege periódikus lesz.

Nem szinuszos, csak periódikus. A tanár valószínű arra gondolt...

---------------------

Van még olyan dolog, hogy két szinusz szorzata. Ez a moduláció, mondjuk amikor hangfrekvenciás hullámmal modulálunk rádiófrekvenciát a középhullámú rádióadóban. Bizonyára nem erről volt szó, de azért leírom:
Tanultátok gimiben, hogy:
`cos(x+y)=cosx·cosy-sinx·siny`
`cos(x-y)=cosx·cosy+sinx·siny`
Ezért ennek a kettőnek a különbsége:
`cos(x-y)-cos(x+y)=2·sinx·siny`
A jobb oldal pont a moduláció, az `x` frekvenciájú "vivőhullámot" moduláljuk az `y` frekvenciájú hanghullámmal. Az eredmény két szinuszos hullám összege (a koszinuszokat könnyű átalakítani szinusszá) :
`A·sinx·siny = A/2·sin(x-y+π/2)+A/2·sin(x+y-π/2)`
Vagyis lett egy `x+y` meg egy `x-y` frekvenciájú "oldalsáv". A rádiójel az `x` frekvenciájú vivőhullámnak `2y` sugarú frekvenciasávját foglalja le.

(Valójában az amplitudómoduláció ilyen:
`sinx·(A+B·siny)`
vagyis a vivőhullám amplitudója `A+-B` között mozog a hanghullám ütemében, ahol `A > B`
`sinx·(A+B·siny)= A·sinx+B/2·sin(x-y+π/2)+B/2·sin(x+y-π/2)`
Vagyis a két oldalsáv mellett megjelenik még maga a vivőhullám is.)