Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

SZINUSZOS FÜGGVÉNY

60
Hogy lehetne bebizonyítani, hogy két szinuszos függvény összege is szinuszos? Hullámtanon foglalkoztunk ezzel, és a tanár valamilyen grafikai úton akarta bemutatni. Felrajzoltunk 2 vektort, amelyek forognak, de azt sem tudom, milyen tengely körül, és hogy a vektorok vetülete és a vektorok összegének vetülete egybevágó, azaz velük együtt forog. Ez a tanárnak elég volt bizonyításként, de nekem ebből nem igazán egyértelmű, hogy két szinuszos függvény összege miért szinuszos.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

3
Úgy lehet bebizonyítani, hogy sehogyan... Általánosságban ez nem igaz.

Bizonyítsunk "hátulról, fakéssel"; ugyanez az állítás a koszinuszra könnyen belátható, hogy nem igaz, például:

`cos(x)+cos(√2*x)`

Erről a függvényről nem nehéz belátni, hogy csak az `x=0` helyen veszi fel a 2-t értéknek. Mivel csak egy helyen veszi fel, ezért nem lehet periodikus (remélem, ez nyilvánvaló), ebből következően koszinuszos függvény sem lehet.
Ebből pedig nem nehéz gyártani szinuszos függvényt a `cos(x)=sin(π/2-x)` összefüggés alapján:
`sin(π/2-x)+sin(π/2-√2*x)`
Mivel ez is csak egy helyen veszi fel a 2-t értéknek, ezért ez sem lehet szinuszos függvény.

Általánosságban viszont igaz az, hogy az A*sin(k₁*x)+B*sin(k₂*x) esetén ha A;B≠0 konstans és k₁;k₂≠0 szintén konstans, akkor csak abban az esetben kapunk szinuszos függvényt, hogyha k₁/k₂ racionális. (Esetünkben k₁/k₂=1/√2, ami irracionális, ezért nem működik.)
Módosítva: 2 hónapja
0

Érdekes...
Tehát azt tudjuk hogy
Cos(y+360°×k)=Cos(y)
(k=0,1,2,3...)
Ezért elvileg
Cos(y×a)+Cos(y)=
Cos(y×a+360°×k)+Cos(y+360°×k)
Tehát a 360° periódus marad.
0

Két szinuszos függvény összege nem szinuszos, hanem (bizonyos esetekben) periódikus.

Bizonyára valami olyasmit csinált a tanár, hogy az `A·sin(a·2π·t)` helyett vett egy origó körül forgó `A` hosszú vektort, ami `a` sebességgel forog (egy időegység alatt `a` fordulatot tesz meg). Ennek a függőleges tengelyre vett vetülete éppen a szinusz.
A `B·sin(b·2π·t)` helyett pedig egy `b` sebességgel forgó `B` hosszú vektort, ami az előző vektor csúcsában van, ott forog. Ennek a vektornak a csúcsa jó bonyolult pályát jár be, a csúcsnak a vetülete éppen a két szinusz összege.

Ha ellenben a második vektort is az origó körül forgatjuk, akkor az egyedi szinuszokat kapjuk vetületként. Ezek összege persze ugyanaz, mint a vektor csúcsában forgó másik vektor csúcsának a vetülete.

Az egyszerűség kedvéért legyenek `a` és `b` egész számok. Az időegységet válasszuk meg `1/(ab)` másodpercnek. Ekkor az első vektor `b` időegység alatt fordul egyet, a második pedig `a` egység alatt. Vegyük `a`  és `b` legkisebb közös többszörösét: ennyi időegység múlva lesz mindkét vektor újra a 0 foknál egyszerre, innentől kezdve a forgások megint ugyanazt az utat járják, vagyis éppen ez a periódus hossza. Ilyenkor tehát tényleg periódikus a szinuszok összege!

Valójában nem kell az, hogy `a` és `b` egész számok legyenek, de racionális számoknak kell lenniük; pontosabban az `a/b` tört kell racionális szám legyen, egyébként nincs közös többszörös. Ha `a/b` irracionális, akkor nem periódikus a két szinusz összege.

A gyakorlatban a mérési pontosság elég kicsi ahhoz, hogy minden frekvenciát racionális számnak tekintsünk, tehát úgy látjuk, hogy tetszőleges frekvenciájú két szinuszhullám összege periódikus lesz.

Nem szinuszos, csak periódikus. A tanár valószínű arra gondolt...

---------------------

Van még olyan dolog, hogy két szinusz szorzata. Ez a moduláció, mondjuk amikor hangfrekvenciás hullámmal modulálunk rádiófrekvenciát a középhullámú rádióadóban. Bizonyára nem erről volt szó, de azért leírom:
Tanultátok gimiben, hogy:
`cos(x+y)=cosx·cosy-sinx·siny`
`cos(x-y)=cosx·cosy+sinx·siny`
Ezért ennek a kettőnek a különbsége:
`cos(x-y)-cos(x+y)=2·sinx·siny`
A jobb oldal pont a moduláció, az `x` frekvenciájú "vivőhullámot" moduláljuk az `y` frekvenciájú hanghullámmal. Az eredmény két szinuszos hullám összege (a koszinuszokat könnyű átalakítani szinusszá) :
`A·sinx·siny = A/2·sin(x-y+π/2)+A/2·sin(x+y-π/2)`
Vagyis lett egy `x+y` meg egy `x-y` frekvenciájú "oldalsáv". A rádiójel az `x` frekvenciájú vivőhullámnak `2y` sugarú frekvenciasávját foglalja le.

(Valójában az amplitudómoduláció ilyen:
`sinx·(A+B·siny)`
vagyis a vivőhullám amplitudója `A+-B` között mozog a hanghullám ütemében, ahol `A > B`
`sinx·(A+B·siny)= A·sinx+B/2·sin(x-y+π/2)+B/2·sin(x+y-π/2)`
Vagyis a két oldalsáv mellett megjelenik még maga a vivőhullám is.)
0