Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Másodfokú egyenletre visszavezethető szélsó érték

50
A feladat maga így szól: Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 18cm. Mikor lesz a háromszög területe maximális. Az egyenletet odáig feltudom írni, hogy T=[(18-y)(y)]/2 (a x+y=18 ból kifejeztem az x-et de itt elakadtam és holnap dolgozat és ezt a típusú feladatot nem annyira értem)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Másodfokú kifejezés szélsőértékét mindig úgy kapjuk meg, hogy átírjuk

`a*(x-u)²+v`

alakba, ahol `a` előjele mutatja, hogy minimumról (`a>0` esetén) vagy maximumról (`a<0`) van szó, `u` mutatja meg a szélsőérték helyét (az `x=u` helyen), `v` pedig az értéket.

Esetünkben először bontsuk fel a zárójelet:

`(18*y-y²)/2`

Emeljünk ki `-1/2`-et:

`-1/2*(y²-18y)`

Teljes négyzetté alakítjuk a zárójeles részt:

`-1/2*((y-9)²-81)`

Végül bontsuk ki a külső zárójelet:

`-1/2*(y-9)²+40,5`

Ez már a fenti alakú kifejezés, tehát szépen kiolvasható belőle minden;
a -1/2 miatt a függvénynek maximuma lesz
a maximum helye x=9 esetén lesz
értéke pedig 40,5

Tehát akkor lesz a háromszögnek a legnagyobb a területe, hogyha a két befogó egyenlő hosszú.
0

A szélsőérték máshogyan is meghatározható, ha ismerjük a másodfokú függvény viselkedését; első körben jönnünk arra rá, hogy a `-1/2y²+9y` függvény képe egy parabola a derékszögű koordináta-rendszerben, amiről tudjuk, hogy tengelyesen szimmetrikus, és a szimmetriatengely a szélsőérték pontján megy át. Ezt kihasználva, számítsuk ki a függvény zérushelyeit, tehát oldjuk meg a `-1/2y²+9y=0` egyenletet. Most könnyű dolgunk van, mert elég csak kiemelni y-t:

`y*(-1/2y+9)=0`

Ennek az egyenletnek ránézésre `y=0` és `y=18` a megoldásai. Mivel ezek szimmetrikusan helyezkednek el, már csak azt kell kideríteni, hogy mihez képest. Erre a válasz az, hogy az `y=9`-hez, és itt lesz a függvény maximumhelye (a maximumot megint onnan lehet tudni, hogy negatív az előjele az y² együtthatójának). A maximumértéket innentől úgy kapjuk, hogy a függvénybe beírjuk a 9-es értéket, és végigszámoljuk.
0