Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek házi
pityinikoletta
kérdése
644
Sziasztok segítenétek kiszámolni a háromszög súlypontját ha háromszög oldalainak hossza 22,28,40 cm .
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Rantnad
{ 
}
válasza
Ha nem tanultad még, akkor elemi módszerekkel;
Azt tudjuk, hogy minden súlyvonal (definíció szerint) felezi az oldalakat. Ahhoz, hogy a súlypont helyzetét megtudjuk, kelleni fog nekünk valamelyik súlyvonal hossza, mivel tudjuk, hogy a súlypont az oldalaktól mérve 1:2 arányban osztja fel a súlyvonalakat.
Először húzzuk be a 40 cm-es oldalhoz tartozó magasságot. Azért lényeges, hogy ahhoz húzzuk be, mert az a legnagyobb, és azt tudjuk, hogy a legnagyobb oldalhoz tartozó magasság mindig a háromszögön belülre esik (a többi oldalnál megeshet, hogy kívülre, ez tompaszögű háromszög esetén lehet így, de derékszögű háromszögnél az egyik befogó a másik befogó magassága). Tehát húzzuk be a magasságot (ez legyen m), ez a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja, ahol az átfogók 22 és 28 cm hosszúak. Mondjuk azt, hogy a 22 cm-es átfogójú derékszögű háromszög másik befogója legyen x, így a másik 40-x hosszú lesz. Ezek fényében két Pitagorasz-tételt tudunk felírni:
`x²+m²=22²` és
`(40-x)²+m²=28²`
Ennek a két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie. Most csináljuk azt, hogy mindkét egyenletet m²-re rendezzük, tehát csak m² maradjon a bal oldalon:
`m²=484-x²`
`m²=784-(40-x)²`
Így látható, hogy két kifejezés is egyenlő m²-tel, így szükségszerűen azok is egyenlőek egymással, tehát ezt az egyenletet tudjuk felírni:
`484-x²=784-(40-x)²`, ezt pedig már meg tudjuk oldani, és `x=16,25`-ot kapjuk eredményül, tehát a 40 cm-es oldalt 16,25 cm-es és 23,75 cm-es oldalakra osztottuk. A magasságot kell még meghatároznunk, ehhez valamelyik egyenletbe be kell ehylettesítenünk;
`m²=484-16,25²`, erre `m=`√ 219,9375 adódik. Érdemes ilyen alakban hagyni, mindjárt látjuk, hogy miért.
Ha behúzzuk a súlyvonalat (legyen s), akkor a háromszögön belül egy újabb derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója a súlyvonal, egyik befogója az előbb kiszámolt magasság, másik befogója 20-16,25=3,75 cm. Innentől már csak egy újabb Pitagorasz-tétel választ el minket az eredménytől:
`3,75²+` √ 219,9375 ² `=s²`, erre eredményül `s=`√ 324 adódik, tehát a 40 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal hossza √ 324 cm. Ezt kell elosztanunk 3-mal, hogy megkapjuk a súlypont elhelyezkedését:
√ 324 /3 = √ 324 /√9 = √ 324/9 = √ 26 , tehát a súlypont a 40 cm-es oldal felezőpontjától (a súlyvonalon) √ 26 cm távolságra van.
Azt tudjuk, hogy minden súlyvonal (definíció szerint) felezi az oldalakat. Ahhoz, hogy a súlypont helyzetét megtudjuk, kelleni fog nekünk valamelyik súlyvonal hossza, mivel tudjuk, hogy a súlypont az oldalaktól mérve 1:2 arányban osztja fel a súlyvonalakat.
Először húzzuk be a 40 cm-es oldalhoz tartozó magasságot. Azért lényeges, hogy ahhoz húzzuk be, mert az a legnagyobb, és azt tudjuk, hogy a legnagyobb oldalhoz tartozó magasság mindig a háromszögön belülre esik (a többi oldalnál megeshet, hogy kívülre, ez tompaszögű háromszög esetén lehet így, de derékszögű háromszögnél az egyik befogó a másik befogó magassága). Tehát húzzuk be a magasságot (ez legyen m), ez a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja, ahol az átfogók 22 és 28 cm hosszúak. Mondjuk azt, hogy a 22 cm-es átfogójú derékszögű háromszög másik befogója legyen x, így a másik 40-x hosszú lesz. Ezek fényében két Pitagorasz-tételt tudunk felírni:
`x²+m²=22²` és
`(40-x)²+m²=28²`
Ennek a két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie. Most csináljuk azt, hogy mindkét egyenletet m²-re rendezzük, tehát csak m² maradjon a bal oldalon:
`m²=484-x²`
`m²=784-(40-x)²`
Így látható, hogy két kifejezés is egyenlő m²-tel, így szükségszerűen azok is egyenlőek egymással, tehát ezt az egyenletet tudjuk felírni:
`484-x²=784-(40-x)²`, ezt pedig már meg tudjuk oldani, és `x=16,25`-ot kapjuk eredményül, tehát a 40 cm-es oldalt 16,25 cm-es és 23,75 cm-es oldalakra osztottuk. A magasságot kell még meghatároznunk, ehhez valamelyik egyenletbe be kell ehylettesítenünk;
`m²=484-16,25²`, erre `m=`√ 219,9375 adódik. Érdemes ilyen alakban hagyni, mindjárt látjuk, hogy miért.
Ha behúzzuk a súlyvonalat (legyen s), akkor a háromszögön belül egy újabb derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója a súlyvonal, egyik befogója az előbb kiszámolt magasság, másik befogója 20-16,25=3,75 cm. Innentől már csak egy újabb Pitagorasz-tétel választ el minket az eredménytől:
`3,75²+` √ 219,9375 ² `=s²`, erre eredményül `s=`√ 324 adódik, tehát a 40 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal hossza √ 324 cm. Ezt kell elosztanunk 3-mal, hogy megkapjuk a súlypont elhelyezkedését:
√ 324 /3 = √ 324 /√9 = √ 324/9 = √ 26 , tehát a súlypont a 40 cm-es oldal felezőpontjától (a súlyvonalon) √ 26 cm távolságra van.
0
- Még nem érkezett komment!