Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Hogy lehet ezeket bizonyítani teljes indukcióval?

319
Ez a házi, de sajnos nem voltam ott, és a teljes indukcióval is csak ismerkedek. Ezt a két oszthatóságot kellene bizonyítani természetes számokra:
1. 73|8^(n+2)+3^(4n+2)
2. 81|10^n*(9n-1)+1 (Itt csak az "n" van a kitevőben)
Az első szerintem sikerült, megnéznétek, hogy jó-e:
1-2. Feltettem 1-re és n-re, hogy igaz
3. 64*8^(n+1)+9*81^(n+1)=64*8*8^n+9*81*81^n=8(64*8^n+9*81^n)+73*9*81^n
Mivel az összeg egyik tagjáról az elején azt mondtuk, hogy osztható, a második tagja pedig 73-mal szorozva valami, így osztható.
Ennyi elég lenne vagy kell még hozzá valami?
A második sajnos nekem nem jön ki. Tudna valaki segíteni benne? Előre is köszönöm! :)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Teljes indukcio, oszthatóság, emelt matek
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Jó az első, elég annyi, bár kicsit formálisabban illik leírni. Szóval nem az van, hogy feltesszük, hogy 1-re igaz, hanem ki kell számolni, hogy tényleg igaz. Utána n-re viszont már csak feltesszük.

`81|10^n*(9n-1)+1`

Néhol egyszerűbb lesz úgy írni, hogy bevezetjük a `P(n)=10^n*(9n-1)+1` jelölést.

1. `n=1` esetén `P(1)=10*(9-1)+1=81` tényleg osztható 81-gyel.
2. Feltételezzük, hogy `n`-re igaz, hogy `81|P(n)`
3. Mi van `n+1`-re?
`P(n+1)=10^(n+1)*(9(n+1)-1)+1=10·10^n*(9n+9-1)+1=`
`=9·10^n*(9n+9-1)+1·10^n·(9n+9-1)+1`
`=9·(10^n*(9n-1)+9·10^n)+10^n·(9n-1)+9·10^n+1`
`=9·10^n*(9n-1)+9·9·10^n+P(n)+9·10^n`
`=9·10^n*(9n-1+1)+81·10^n+P(n)`
`=9·10^n·9n+81·10^n+P(n)`
`=81n·10^n+81·10^n+P(n)`
ami a 2. feltételezés miatt tényleg osztható 81-gyel.

Mivel 1-re igaz és `n`-ről `n+1`-re a tulajdonság öröklődését beláttuk, ezért minden természetes szám `n`-re igaz.
1