√sin⁴×+4cos²+√cos⁴×+4sin²×=3

√sin⁴×=|sin²×|=sin²×, és
√cos⁴×=|cos²×|=cos²× miatt az egyenlet
5sin²×+5cos²×=3 egyenletre redukálódik.

5sin²×+5cos²×=5>3 miatt viszont nincs az egyenletnek megoldása a valós számok halmazán.

Lili99, zárójelezni kellett volna, mert így félreérthető...
Ugye erre gondoltál:
√(sin⁴x+4cos²x)+√(cos⁴x+4sin²x)=3

Nézzük darabonként:
`sqrt(sin^4 x+4cos^2 x)`
A gyök alatti kifejezéssel foglalkozunk, nem írom a gyököt.
Trükk: szorozzuk a négyzeteset 1-gyel:
`G=sin^4 x+4cos^2 x·(sin^2 x+cos^2 x)=sin^4 x+4cos^4 x+4sin^2 x cos^2 x`
gyanús, hogy az `1^2` valahogy bejátszhat. Hogy is alakul az?
`1^2=(sin^2 x+cos^2 x)^2=sin^4 x+cos^4 x+2sin^2 x cos^2 x`
`G=1^2+3cos^4 x+2sin^2 xcos^2 x`
`=1+(cos^4 x+2cos^4 x)+2sin^2 xcos^2 x`
`=1+cos^4 x+2cos^2 x(cos^2 x+sin^2 x)`
`=cos^4 x+2cos^2 x+1=(cos^2 x+1)^2`
Ennek kell a négyzetgyökét venni, ami `cos^2 x+1`

Csináld meg hasonlóan a másik gyökös tagot is, végül azonosságot kapsz.
Tehát minden x-re igaz.