Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Matek

697

Legfeljebb hány részre osztja a síkot 10 darab négyzet?

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Gondolom gráfokat tanultok...

Fogjuk fel az egészet egy gráfnak. Ahol a négyzetek metszik egymást, azok lesznek a gráf pontjai, ezeket a pontokat összekötő tört-vonalak pedig a gráf élei. Ezek a vonalak a négyzet feldarabolt oldalai. Minden pont két négyzet 1-1 oldalát vágja ketté. (Persze elvileg lehet az is, hogy nem vágja ketté, mert két négyzet éppen a csúcspontjában érintkezik, de akkor érdemesebb picit nagyobbra venni az egyik négyzetet, mert akkor több terület keletkezik. Szóval csúcsokban való érintkezés nem lesz. Ugyanúgy lehet elvileg az is, hogy három négyzet egy pontban metszi egymást, de akkor is érdemesebb az egyiket kicsit odébb tenni, mert akkor több terület keletkezik, tehát olyan sincs.)

Kicsit sokat magyaráztam az előbb, de baromi egyszerű dologra gondoltam: Ami le van rajzolva, az maga a gráf. És nem a négyzet négy csúcsa adja a gráf csúcspontjait, hanem a négyzetek közötti metszéspontok.

Mondjuk ha két négyzetet veszünk, akkor azok 2 pontban metszik egymást, és a két pontot 4 él köti össze. A síkot pedig 4 területre osztják a négyzetek. (Rajzold fel.)

Általános esetben van a gráfnak `p` darab pontja, `e` darab éle, és a síkot `t` darab területre osztja.

A gráf maga természetesen egy síkgráf, felírható rá Euler formulája:
`p-e+t=2`

Most a kérdés `t`, tudni kellene `p` meg `e` értéket:

Vedd észre, hogy egy pontból pontosan 4 él indul ki (1 fel, 1 jobbra, 1 lefelé, 1 balra). Vagyis elvileg `4p` darab él lenne, de mivel mindegyik él két ponthoz tartozik, ezért csak a fele: `e=2p`

Hány pont lehet? Ha `n` négyzet van, akkor mindegyik maximum a többi `n-1` négyzetet tudja metszeni. Két négyzet egymást pontosan 2 helyen metszi, ezért ez eddig `2·n(n-1)` pont. Viszont minden pont két négyzethez tartozik, ezért ennek a felét kell venni:
`p=n(n-1)`
Ez tehát optimális esetben a pontok maximális száma.

Ezek után `t` legfeljebb ennyi lehet:
`t=2+e-p=2+2p-p=2+n(n-1)=n^2-n+2`
0