Sorbarendezés:

Van sok dolgod, mondjuk 12 különböző tollad, és minden nap másik tollal akarsz írni (amíg ki nem fogy belőlük persze). Valamilyen sorrendben lerakod magad elé, és úgy fogod felhasználni. Hányféleképpen rakhatod őket sorba?
(Permutációnak is hívják ezt a sorbarendezést, de szinte mindegy a név.)
Elsőre lerakhatod bármelyiket, ez 12 lehetőség. Másodikra már csak a maradék 11-ből bármelyiket, ez eddig 12·11 lehetőség. Így folytatódik tovább, összesen az lesz, hogy 12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1
Ezt röviden úgy írjuk le, hogy 12! (faktoriális)

Lehet az is, hogy a 12 tollból csak 5-öt akarsz felhasználni véletlen sorrendben (a hét minden munkanapján egyet).
Hétfőn lehet 12-féle, kedden 11-féle, stb. Ez 12·11·10·9·8 lehetőség lesz.
Lehet ezt is faktoriálissal írni: `(12!)/((12-5)!)`. Gondolj bele, hogy ez tényleg azt adja.
Ezt hívják variációnak egyébként, de megint, a név tök mindegy szerintem.

Egy harmadik lehetőség: Mondjuk a 12 toll olyan, hogy 4 kék, 3 piros és 5 zöld, és most is mind a 12-t fel akarod használni 12 napon át, tehát megint valamilyen sorrendben lerakod magad elé. Két sorbarakott eset akkor lesz különböző, ha más színek vannak valahol. Vagyis nem különböző az eset, ha az egyikben az első kék van elől és a második kék hátul, vagy fordítva. Kék-kék, mindegy.
(Ezt hívják ismétléses permutációnak.)
Kis trükkel lehet kiszámolni, hogy hányféleképpen rakhatod a tollakat magad elé: Ha mindnek más lenne a színe, akkor 12! lehetőség lenne. Vegyük most a 4 kéket: mindegy, hogy ezek egymáshoz képest hová kerültek. A 4 kéket 4! sorrendben tudnád lerakni, ezért ezzel osztani kell a lehetőségek számát. Ugyanígy a pirosak egymáson belüli sorrendje sem számít, 3!-sal is ostani kell, meg 5!-sal is.
Vagyis `(12!)/(4!·3!·5!)` lehetséges sorrend van, ahol az egyformák egyformának számítanak.
Nem kell minden egyes alakalommal belegondolni, hogy mit is kell kezdeni az egyformákkal, be kell magolni: Ha egyformák vannak sorbarendezéskor, akkor osztani kell azoknak a faktoriálisaival.

Van még egy olyan sorbarendezés, amikor számít a sorrend, de az kicsit kilóg a fentiekből: Most mondjuk az van, hogy van 4 különböző színű tollad, és a hét mind az 5 munkanapján eldöntöd, hogy aznap milyen színnel írsz. Lehet ugyanazzal a színnel írni több nap is.
(Ezt hívják ismétléses variációnak, de ezt én se jegyzem meg, csak most megnéztem, mi is a neve.)
Hétfőn írhatsz 4-félével, kedden is, stb., minden nap. Tehát ez 4·4·4·4·4 = 4⁵ lehetőség.

--- Ebből a négyféle dologból ti csak az elsőt és a harmadikat hívtátok sorbarendezésnek, én mind a négyet. Magyar nyelven ugyanis mind a négynél sorba kell rakni dolgokat, szóval engem zavar, ha nem sorbarendezés a neve. De mondom, mindegy a név, nem azzal kell megoldani a feladatot, és nem is azzal, hogy megjegyzed a szabályt, hogy számít-e a sorrend, stb. Bele kell gondolni, hogy hogyan raknád őket magad elé, aztán kijön a megoldás.

Van még két fontos eset, amik nem sorbarendezések, hanem kiválasztások:

Van a 12 tollad, amiből aznap 4-et akarsz magaddal vinni a suliba. Nem akarod sorba rakni, csak kiválasztasz négyet. (Ez egyébként a kombináció.)
Nem írom le, hogyan jön ki, csak a végeredményt: `((12),(4))`, és 12 alatt a 4-nek olvassuk ki.
Ez nagyon fontos eset, nagyon gyakran van rá szükség. Az angolok/amerikaiak mázlisták, mert nem úgy tanulták meg ezt a zárójeles dolgot, hogy 12 alatt a 4, hanem úgy olvassák ki, hogy "12 choose 4", vagyis 12-ből válassz 4-et. Úgy könnyű feladatokat megoldani...Ha choose-ról van szó, akkor a choose kell
Nálunk meg: ha kiválasztásról van szó, akkor X alatt az Y kell.
Ugye tudod, hogy technikailag hogyan kell kiszámolni ezt a choose-ot? Így:
`((12),(4))=(12!)/(4!·(12-4)!)`
Viszont így nagyon gyorsan lesznek nagy számok, úgyhogy mégsem így érdemes, hanem így:
`(12·11·10·9)/(1·2·3·4)`
12-től kezdve 4 darab számot kell összeszorozni, aztán 1-től kezdve néggyel osztani.
Legtöbbször egyébként nem is kell kiszámolni a konkrét értéket, a tanárnak az is elég szokott lenni, ha felírod a zárójeles X alatt az Y-t. Persze ha a feladat úgy kívánja, ki is kell számolni...

Az utolsó eset az ismétléses kombináció. Nem tudom, tanultátok-e, ez a legbonyolultabb. A neve kicsit félrevezető, nem kell benne ténylegesen ismétlésnek lennie feltétlenül...
Az egyik eset, amikor használni kell, az az, hogy mondjuk különböző dobozokba akarod rakni a tollaidat. Van tehát mondjuk 5 dobozod és 12 tollad, és bele akarod rakni a tollakat a dobozokba. Egyszerűen berakod abba, amelyikbe csak gondolod. Lehet, hogy egyik dobozba egy se kerül, valamelyikbe meg nagyon sok, nem baj. Hogyan lehet kiszámolni, hogy hány lehetőség van, ahol egy lehetőség az, hogy hány toll van az egyes dobozokban? Az, hogy meyik toll van benne, az mindegy (e miatt hívják "ismétlésesnek").
Egy trükk kell hozzá:
Végy a kezedbe 12+4 valamit, monduk golyót (12 tollad van, a 4 meg úgy jön ki, hogy 1-gyel kevesebb, mint a dobozok száma), aztán rakd magad elé a golyókat akárhogy. Végül válassz ki a 12+4 golyóból 12-t. Ez ugye a choose, vagyis `((12+5-1),(12))` A 12 kiválasztott golyó helyére rakd a tollakat (mindegy, milyen sorrendben, mert csak a darabszám számít), a maradék 4 golyó pedig egyszerűen elválasztó fal, ami 5 tartományra osztotta az egészet. Ami toll (golyó) van az egyes tartományokban, azt kell betenni a megfelelő dobozba.
Az 5-1 úgy jön ki, hogy ha egymás mellé teszed az 5 dobozt, akkor 4 elválasztó-fal van közöttük.

Valszám:

Alapeset az, hogy a kedvező esetek számát elosztod az összes esetek számával.
Tehát ki kell számolni olyan módon, ahogy az előbb a kombinatorikánál volt, az egyiket is meg a másikat is és elosztani.
Ez sima dolog, nem is részletezem.

Vannak viszont olyan esetek, amikor így bonyolult lenne számolni, vagy máshogy érdemesebb számolni.

Pl. egy olyan példa, hogy egy elromlott gép az esetek 10 százalékában selejtet gyárt. Mi annak a valószínűsége, hogy 100 gyártmány közül mind jó?
Itt események vannak: egy gyártás egy esemény. Ha az esetek 10%-ában selejtet gyárt, akkor p₁=0,1 a selejt valószínűsége minden egyes esetben. Annak a valószínűsége pedig, hogy egy adott gyártmány jó, p₂=0,9.
Ahhoz, hogy mind jó legyen, mind a 100 esetben jót kell gyártania, annak valószínűsége `"0,9"·"0,9"·"0,9"...."0,9" = "0,9"^(100)`

Másik feladat: Ugyanez a gép, mi annak a valószínűsége, hogy 100 gyártmány közül pontosan 1 lesz csak selejt?
Ha mondjuk az első selejtes, annak p₁ a valószínűsége, aztán hogy az összes többi jó, azoknak mind p₂. Ez együtt p₁·p₂·p₂·...·p₂, vagyis `p_1·p_2^(99)`
De nem ez a megoldás, hisz nem biztos, hogy az első lesz a selejt! A 100 közül bármelyik lehet selejt, ezért `100·p_1·p_2^(99)` a válasz.

Harmadik feladat: Ugyanez a gép, mi annak a valószínűsége, hogy 100 gyártmány közül pontosan 2 lesz csak selejt?
Ha mondjuk az első kettő lesz selejtes, annak mindkettőnél p₁ a valószínűsége, aztán hogy az összes többi jó, azoknak mind p₂. Ez együtt `p_1^2·p_2^(98)`
De lehet bármelyik kettő is selejtes. A 100 közül hányféleképpen tudjuk kiválasztani, hogy melyik lesz a selejtes? Ugye `((100),(2))`. Ezért a válasz az, hogy `((100),(2))·p_1^2·p_2^(98)`

Ez a binomiális eloszlás: Ha egy esemény (mondjuk most a selejt) valószínűsége `p`, akkor annak a valószínűsége, hogy `n` kísérletből pontosan `k ` darab lesz olyan esemény (selejt), az
`((n),(k))·p^k·(1-p)^(n-k)`

Még lehet ezt bonyolítani: Mi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb 2 selejt lesz?
Ez úgy lehet, hogy nincs egy se, vagy pontosan 1 van, vagy pontosan 2 van. Vagyis ezt a hármat össze kell adni:
`((100),(0))·p^0·(1-p)^(100-0)+((100),(1))·p^1·(1-p)^(100-1)+((100),(2))·p^2·(1-p)^(100-2)`
vagy rövidebben:
`(1-p)^(100)+100·p·(1-p)^(99)+((100),(2))·p^2·(1-p)^(98)`

És mi annak a valószínűsége, hogy legalább 3 selejt lesz?
Ez a pontosan 3, vagy pontosan 4, vagy pontosan 5, vagy ... vagy pontosan 100. Ehhez jó sokat kellene összeadni.
Lehet viszont gyorsabban is: Már kiszámoltuk az előző feladatban annak a valószínűségét, hogy 3-nál kevesebb selejt lett. Annak pont az ellenkezője az, hogy legalább 3. Ennek a kettőnek az összege éppen 1 kell legyen, mert több lehetőség nincs! Ezért csak 1-ből ki kell vonni az előzőleg kiszámolt értéket, az lesz erre a feladatra a válasz.

A füzetedben a selejt példa máshol szerepelt, de ez ne zavarjon meg. Az adott példától függ, hogy hogyan kell megoldani, nem attól, hogy selejt...

Ez a binomiálsi úgy szerepelt, hogy visszatevéses mintavétel. Ez így van, bár mondjuk most se látszódott, hogy mi lett visszatéve? Hát az, hogy tételezzük fel, hogy a gép úgy "dönti el", hogy most éppen selejtet gyárt vagy nem, hogy van neki 10 golyőja: 9 zöld és 1 piros, és ha pirosat húz, akkor selejt lesz (ennek 1/10 a valósínűsége). Aztán a kihúzott képzeletbeli golyót a gép képzeletben visszatesi, hogy a következő gyártmánynál megint képzeletben "eldönthesse" húzással, hogy sleejtet gyárt-e.
Semmi köze a valósághoz, de innen jön a "vissatevéses mintavétel" elnevezés.

A harmadikat mindjárt írom...

A harmadik a visszatevés nélküli mintavétel.

Mondjuk van egy dobozban 100 legyártatt alkatrész, amiből 10 selejtes lett. Mi annak a valószínűsége, hogy ha kiveszünk a dobozból ötöt, akkor pontosan 2 selejtes lesz?

Itt azt értjük visszatevés nélkülinek, hogy egymás után vesszük ki az alkatrészeket, megnézzük, hogy selejt-e, de nem rakjuk vissza, kiveszünk 5-öt.
Vagy tehetjük azt is, hogy belemarkolunk és egyszerre vesszük ki az 5-öt. A végeredmény ugyanaz. Ekkor nincs értelme az elnevezésnek, de nem is az alapján kell bemagolni a képletet.

Most az alapesettel a legjobb megoldani: kedvező esetek száma osztva összessel.

Az összes eset: 100 tárgyból hányféleképpen vehetjük ki az 5-öt? Ez ugye a kiválasztás, vagyis choose, tehát `((100),(5))`.

A kedvező esetek: Lesz 2 selejt, amit az 5 selejtes közül "választunk ki" (persze nem választjuk ki igaziból, hanem véletlenül abba akadunk bele, de ha direkt választanánk ki, akkor is ugyanaz lenne az eredmény, ezért könnyebb úgy mondani), az tehát `((5),(2))` módon mehet. És lesz 3 jó a 95 jó közül, az pedig `((95),(3))` lehetőség. Ezek szorzata a kedvező esetek száma

A valószínűség tehát:
`(((5),(2))((95),(3)) )/( ((100),(5)) )`

Általánosságban is fel lehet rá írni képletet:
Ha `N` tárgy között `K` rendelkezik valamilyen izgalmas tulajdonsággal, akkor annak a valószínűsége, hogy `n` darabot kivéve éppen `k` darab izgalmas lesz (`k < K` persze), az ennyi:
`(((K),(k))((N-K),(n-k)) )/( ((N),(n)) )`
de szerintem ne jegyezd meg ezt a ronda képletet, jobb véggiggondolni a choose-okat.

A lottó is így megy: 90-ből 5 számot kell eltalálni, mennyi a kettes találat valószínűsége?
A 2 jót az 5-ből "választjuk", az 5-2 rosszat pedig a 85 rosszból.
`(((5),(2))((85),(5-2)) )/( ((90),(5)) )`

Azt javaslom, hogy miután végigolvastad, próbálj feladatokat megoldani. Ha nem megy, kérdezz itt rá.