Gondolom bizonyítani kellene azt, amit írtál...

Három feltételnek kell teljesülnie:

1) `σ(x,y)=0` akkor és csak akkor, ha `x=y`
Odafelé: ha `x=y`, akkor `p(x,y)=0` (hisz `p` metrika), ezért `σ` is nulla.
Visszafelé: `σ(x,y)` csak akkor tud nulla lenni, ha a számláló nulla, ami pedig akkor nulla, ha `x=y`.

2) `σ(x,y)=σ(y,x)`
Ez triviális

3) `σ(x,z) ≤ σ(x,y)+σ(y,z)` (háromszög-egyenlőtlenség)

Ez sokkal trükkösebb:
`σ(x,z)=(p(x,z))/(1+p(x,z))=1-1/(1+p(x,z))`
Tudjuk, hogy `p(x,z) ≤ p(x,y)+p(y,z)`. Ha ezt a nagyobb értéket helyettesítjük be a fenti jopbb oldalon a nevezőbe, akkor a tört értéke kisebb lesz, de mivel azt kivonjuk 1-ből, eredményül nagyobbat kapunk:
` ≤ 1-1/(1+p(x,y)+p(y,z))=(p(x,y)+p(y,z))/(1+p(x,y)+p(y,z))=`
`=(p(x,y))/(1+p(x,y)+p(y,z))+(p(y,z))/(1+p(x,y)+p(y,z))`
és mivel `p()` értékei pozitívak, elhagyva valamelyiket a nevezőből nagyobbat kapunk:
`≤ (p(x,y))/(1+p(x,y))+(p(y,z))/(1+p(y,z))=σ(x,y)+σ(y,z)`

-------
Sajnos magamtól nem jöttem rá erre a háromszög-egyenlőtlenség levezetésre, innen vettem az ötletet:
https://math.stackexchange.com/questions/309198/if-dx-y-is-a-metric-then-fracdx-y1-dx-y-is-also-a-metric