1.

Feltétel: x>13


`(x-13)/(x-3)` = `10/2`

x-13 = 5x-15

x= 0.5 Nem felel meg a feltételnek, nincs megoldása az egyenletnek.


2.

Feltétel: x>-1

`2x+10` = `(x+1)^2`

`x^2`-9 = 0

`x_1`= -3 nem felel meg a feltételeknek

`x_2` = 3 megfelel, ellenőrzés!

3.

Felt.: x>1.5

2x-3 = 3(4x-2)

x=0.3 nem felel meg a feltételeknek, nincs megoldás.

4.

Felt: x>6

(x-3)(x-6) = 5*2

x^2-9x+8=0

`x_1` = 1 Nem megoldása a feltétel miatt

`x_2` = 8 megoldása az egyenletnek, ellenőrzés!

5.

Feltétel: x> `5/43`


(3x+5)(x+5)=43x-5

3x^2-23x-30=0

`x_1` = `5/3`

`x_2` = 6

Mindkét gyök megfelel a feltételeknek, megoldása az egyenletnek. Ellenőrzés!

4. feladat részletesen:


Feltétel megállapítása:

A logaritmus definíciója alapján a pozitív valós számoknak vizsgáljuk a logaritmusát.

1. x-3 > 0 /+3

x>3

2. x-6 > 0 /+6

x>6

Mindkettőnek teljesülnie kell, tehát x>6

A logaritmus azonosságokat felhasználva:

Bal oldal: `log_5(x-3)` + `log_5(x-6)` = `log_5 (x-3)(x-6)`

Jobb oldal: `log_5(2)+1`= `log_5(2)`+`log_5(5)` = `log_5(2*5)` = `log_5(10)`

`log_5 (x-3)(x-6)`=`log_5(10)`

A két oldal akkor egyenlő, ha a logaritmuson belüli kifejezések egyenlők.

(x-3)(x-6) = 10

Felbontjuk a zárójelet:

`x^2`-3x-6x+18 =10 /-10

`x^2`-9x+8=0

Megoldóképlet:

`x_(1,2)`= `(-b±root()(b^2-4ac))/(2a)`= `(9±root()(9^2-(4*1*8)))/2`=`(9±root()(49))/2` = `(9±7)/2`

`x_1` = 8

`x_2` = 1

A kezdeti feltétel miatt a második gyök nem megoldása az egyenletnek.

Ellenőrzés: (az eredeti egyenletbe):

Bal oldal: `log_5(8-3)` + `log_5(8-6)` = `log_5 5` + `log_5 2` = `log_5 10`

Jobb oldal: `log_5 2`+1 = `log_5 2` + `log_5 5` = `log_5 10`

Az egyenlet megoldása tehát: x= 8

Remélem elég részletes voltam, ha kimaradt valami, szólj