1. Gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért 3x-27≥0, erre x≥9 adódik, tehát a kifejezés értelmezési tartománya: x≥9, intervallumjelöléssel: x∈[9;∞) balról nyílt, jobbról zárt intervallum.

2. Bővítsük az első törtet (√ 11 -3)-mal, ekkor ezt kapjuk:

2*(√ 11 -3)/(11-3)=(2*√ 11 -6)/8=(√ 11 -3)/4, így az a kérdés, melyik a nagyobb:

(√ 11 -3)/4 vagy √ 10 -3.

Ha mindkét számot ugyanazzal a pozitív számmal szorozzuk, akkor a reláció megmarad köztük, így szorozzuk 4-gyel:

√ 11 -3 vagy 4*√ 10 -12, adjunk hozzá mindkettőhöz 12-t:

√ 11 +9 vagy 4*√ 10 , majd emeljük négyzetre (nagyobb pozitív szám négyzete nagyobb marad)

11+2*9*√ 11 +81 vagy 16*10, vagyis
92+18*√ 11  vagy 160, levonunk 92-t
18*√ 11  vagy 68, osztunk 18-cal
√ 11  vagy 68/18=34/9, négyzetre emelünk
11 vagy (34/9)²=1156/81, szorzunk 81-gyel
891 vagy 1156, az utóbbi a nagyobb, tehát eredetileg √ 10 -3 volt a nagyobb.

3. Nézzük tagonként:

3*√8=3*√ 4*2 =3*√4*√2=3*2*√2=6*√2
(1/5)*√ 50 =√ 50 /5=√ 50 /√ 25 =√ 50/25 =√2

Tehát ezt kaptuk: 6*√2+√2-5√2=2*√2=√4*√2=√(4*2)=√8, tehát √8 a pontos érték.

4. Ez egyszerű; √2-vel kell csak bővíteni, így kapunk (34*√2)/(7*2)=(17*√2)/7

5. Hozzáadunk mindkét oldalhoz 16-ot: 4x²=16, osztunk 4-gyel x²=4, ennek a megoldása x=±2.

6. Definíció szerint vonunk gyököt, akkor |a⁴|-nt kapjuk, de mivel a⁴ minden valós a-ra pozitív vagy 0 lesz, ezért elhagyható a ||, így a⁴ marad, így az állítás igaz. Az ez alatt lévőt nem tudom értelmezni, ilyennel még nem találkoztam.

7. Azt tudjuk, hogy megoldóképlet szerint ennek a megoldása
x1;2=(-6±√ 36+60q )/10, ez akkor nem értelmes, hogyha a gyökjel alatt negatív érték található, ekkor nem lesz gyöke az egyenletnek; tehát
36+60q<0-nak kell teljesülnie. -36, majd :60
q<-0,6, tehát ha q értéke -0,6-nél kisebb, akkor az egyenletnek nem lesz megoldása. Nem mellesleg, ha q=-0,6, akkor 1 megoldása lesz, ha ennél nagyobb, akkor lesz 2.

8. Gyöktényezős alakot kell elővenni: (x-1/2)*(x+3)=x²+(5/2)x+(3/2), tehát egy lehetséges megoldás:

x²+(5/2)x+(3/2)=0. Ez az egyenlet tetszőleges nem nulla számmal is szorozható, például 2-vel, ekkor 2x²+5x+3=0 egyenlethez jutunk, ez azért jó, mert minden együttható egész. Általánosan: a*(x²+(5/2)x+(3/2))=0 egyenlet jó megoldás lesz, ahol a tetszőleges valós, de nem 0.

9. Erre két lehetőség van; az egyik, hogy teljes négyzetté alakítjuk: (x+1,5)²-2,25+7=(x+1,5)²+4,75. Mivel a négyzetes tag értéke vagy pozitív, vagy 0, ezért értelemszerűen csak 0 esetén jutunk szélsőértékhez, ez x=-1,5 esetén lesz meg, értéke akkor 4,75 lesz.
Másik lehetőség, hogy kihasználjuk, hogy a függvény képe szimmetrikus, és azt is érdemes tudni, hogy ha a függvényből kivonunk egy számot, azzal a képe az y-tengellyel párhuzamosan tolódik, tehát a szélsőérték helye nem fog változni. Ha kivonunk 7-et, ezt kapjuk: x²+3x=0, kiemelünk x-et: x*(x+3)=0, ennek a megoldásai x=0 és x=-3, a szimmetria miatt ezek egyenlő távolságra vannak szélsőérték helyétől, ezért x=-1,5-nél lesz szélsőérték. Abban a függvény értéke: (-1,5)²+3*(-1,5)+7=4,75 lesz. Hogy ez minimum vagy maximum, abból derül ki, hogy keresünk egy másik függvényértéket, legegyszerűbb x=0-ban nézni, ott 7, tehát maximum nem lehet a szélsőérték, így minimum lesz.

10. Ha a másik szám x, akkor mértani közepük √ 5*x , ennek kell 10-nek lennie:
√ 5*x =10 → 5x=100 →x=20, tehát a másik szám a 20.

11. Tehát az a kérdés, hogy mikor lesz 7x²+5x-3=0, ehhez pedig csak a megoldóképletet kell felírni:

x1;2=(-5±√(109))/14, innen számológéppel lehet folytatni.

12. Az ábrázoláshoz a legjobb mód a teljes négyzetté alakítás:

=-(x²-4x+3)=-((x-2)²-4+3)=-(x-2)²+1, tehát az x² függvényt eltoltuk jobbra 2-vel, "fejre állítottuk", vagyis tükröztük az x-tengelyre, végül 1-gyel feltoltuk. A függvény csúcspontja az előzőek alapján a (2;1) pont lesz, onnan kell kirajzolni, ahogy szoktuk. Ezen azt az intervallumot kell megadni, ahol a függvényérték nagyobb, mint 0, vagyis ahol a függvény képe az x-tengely fölött van.

1. Először a nevezőket kell szorzatalakban felírni:
x² -4=(x-2)*(x-2)
x²-2x=x*(x-2)
x²+2x=x*(x+2), ebből már látszik, hogy x*(x-2)*(x-2) lesz a legkisebb közös többszörös, vagyis a közös nevező:
-az elsőt x-szel bővítjük, számlálója így 2x lesz
-a másodikat (x+2)-vel, így számlálója (x+2)
-a harmadikat (x-2)-vel, így (x-4)*(x-2)

Mivel a nevezővel szorzunk, ez lesz az egyenlet: 2x-(x+2)+(x+4)*(x-2)=0, kibontogatás után egy sima másodfokú egyenlet marad: x²+3x-10=0, ennek ránézésre 2 a megoldása, és mivel 2*(-5)=-10, ezért -5 lesz a másik.

2. Erre is két lehetőség van; az egyik, hogy eltoljuk jobbra 3-mal, a függvényt, vagyis az x-ekből kivonunk 3-at: (x-3)²+6*(x-3)+8=x²-6x+9+6x-18+8=x²-1. Ennek a megoldásai 1 és -1, így ha ez jó, akkor az eredetinek -2 és -4 a gyöke, behelyettesítés után kiderül, hogy igen. Mint ahogy már láttuk egy korábbi feladatnál, ez is szorozható bármilyen számmal, tehát a*(x²-1) az általános megoldás, ahol a tetszőleges nem 0 valós. Másik lehetőség, hogy kiszámoljuk a gyököket, ezek -2 és -4, tehát a keresett kifejezésben 1 és -1 gyökök kellenek, elővéve a gyöktényezős alakot: a*(x-1)*(x-1)=a*(x²-1), ahol a tetszőleges nem 0 valós.

3. x²-4x-5>0, ehhez a gyöktényezős alak kell nekünk, tehát a gyökök. Ránézésre -1 lesz a megoldás, ebből következően 5 lesz a másik, tehát a gyöktényezős alak: (x+1)(x-5)>0. Egy szorzat értéke akkor nagyobb, mint 0, ha pozitív, és akkor pozitív, ha a szorzótényezők előjele azonos előjelűek (általánosan: páros sok negatív van köztük). Ha mindkettő pozitív, akkor x>5, ha mindkettő negatív, akkor x<-1, ezek lesznek az egyenlőtlenség megoldásai.

4. Négyzetre emelünk: x+2=x²-8x+16, majd redukálunk:
0=x²-9x+14, ránézésre x=2 a megoldása, a másik a 2*7=14 miatt x=7, de megoldóképlettel is kijön. Ezeket visszaírva az eredetibe csak x=7-ra kapunk egyenlőséget, így az lesz a megoldás, a -2 hamis gyök lesz (ez azért van, mert eredetileg 2=-2 van, de ha négyzetre emelünk, 4=4 lesz, de a 2=-2 nem igaz).

5. Általános megoldás: A második egyenletből y=32/x (értelemszerűen y nem lehet 0), ekkor y helyére beírva ezt az első egyenletben:

x²+(32/x)²=80, kibontjuk a zárójelet:
x²+1024/x²=80, szorunk x²-tel
x⁴+1024=80x², kivonunk 80x²-et
x⁴-80x²+1024=0, legyen x²=t, ekkor ezt kapjuk:
t²-80t+1024=0, ennek a megoldásai t₁=16, t₂=64, és mivel t=x² volt, ezért x1;2=±4, x3;4=±8, és mivel y=32/x, ezért y1;2=±8 és y3;4=±4

Mivel az egész számok halmazán keresgélünk, ezért felírhatjuk 32 szorzatait: 1*32, 2*16, 4*8, 8*4, 16*2, 32*1, és ezek negatívjai: (-1)*(-32), (-2)*(-16), (-4)*(-8), (-8)*(-4), (-16)*(-2), (-32)*(-1), ezeket kell végigpróbálgatni, hogy melyik jó közülük.

6. Ha a két oldala a és b, akkor kerülete 2*(a+b)=28, vagyis b=14-a. A két oldal az átlóval derékszögű háromszöget alkotnak, ahol az átló az átfogó, így felírható Pitagorasz tétele:

a²+(14-a)²=10²
a²+196-28a+a²=100
2a²-28a+96=0
a²-14a+48=0, ránézésre a=6 lesz a megoldás, ekkor a másik a=8. Nem meglepő, hogy ha az egyik 6, akkor a másik 8 lesz és fordítva.
A terület 6*8=48 cm² lesz.

Ha valami nem világos, kérdezhetsz!