Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Egyenes csonkakúpba írható gömb

97
Egy egyenes csonkakúpba gömb írható. A csonkakúp és a gömb felszínének a különbsége 122π. Térfogataik különbsége 224π. Számítsa ki a csonkakúp és a gömb felszínét és térfogatát!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
Zanzásítva a megoldás

A geometriából a gömb sugara
ρ = √Rr

A különbségek
F = Fk - Fg = 122π
V = Vk - Vg = 224π

Az ismert képletekből
F = R² + r² - ρ² = 61
V = ρ(R² + r² - ρ²) = 336

Ezekkel a gömb sugara
ρ = V/F

A kúp felszínéhez és térfogatához szükség van még a
R² + r² + ρ²
összegre. Ennek értéke
R² + r² + ρ² = F + 2V²/F²

Ebben a speciáli esetben a kúp felszíne és térfogata
Fk = 2π(R² + r² + ρ²)
Vk =( 2π/3)ρ(R² + r² + ρ²)
A gömb képletei változatlanok.

Ezután már csak be kell helyettesíteni a számokat.
Módosítva: 5 hónapja
0

Egyszer azt írod , hogy F = Fk - Fg = 122π. Máskor meg ezt: F = R² + r² - ρ² = 61 Kicsit egzaktabban nem lehetne írni erről?
0

Egy egzaktabb leírás a következő:

A csonkakúp és a beírt gömb síkmetszete egy trapéz és a beírt kör. A trapéz szimmetrikus és érintőnégyszög is egyben, alapjai R és r, az érintőnégyszög miatt a szára (és egyben a csonkakúp alkotója)

a=R+r.

A gömb sugara legyen ρ. A trapéz magassága

m=2ρ.

A magasság a szárral és a hosszabbik alap egy részével derékszögű háromszöget alkot, melynek befogói: ρ és R-r, átfogója R+r. Pitagorasz-tételt felírva kapjuk:

ρ²=Rr

A felszínek:

Acsk = π(R²+r²+(R+r)a) = π(R²+r²+(R+r)²)

Ag = 4πρ² = 4πRr

Acsk-Ag = 122π = π(2R²+2r²+2Rr)-4πRr

Egyszerűsítés után:

61 = R²+r²-Rr (1)

A térfogatok:

Vcsk = πm(R²+r²+Rr)/3 = π·2ρ·(R²+r²+Rr)/3

Vg= = 4πρ³/3 = 4π·ρ·ρ²/3 = 4π·ρ·Rr/3

Vcsk-Vg = 224π = π·2ρ·(R²+r²+Rr)/3 - 4πρRr/3

Egyszerűsítés után:

336 = ρ·(R²+r²-Rr)

A zárójelben kapott mennyiség az (1) egyenlet jobb oldalával egyenlő, ezért:

336 = 61ρ.
Módosítva: 5 hónapja
0