Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Egyenes csonkakúpba írható gömb
gyula205
kérdése
933
Egy egyenes csonkakúpba gömb írható. A csonkakúp és a gömb felszínének a különbsége 122π. Térfogataik különbsége 224π. Számítsa ki a csonkakúp és a gömb felszínét és térfogatát!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
DeeDee
válasza
Zanzásítva a megoldás
A geometriából a gömb sugara
ρ = √Rr
A különbségek
F = Fk - Fg = 122π
V = Vk - Vg = 224π
Az ismert képletekből
F = R² + r² - ρ² = 61
V = ρ(R² + r² - ρ²) = 336
Ezekkel a gömb sugara
ρ = V/F
A kúp felszínéhez és térfogatához szükség van még a
R² + r² + ρ²
összegre. Ennek értéke
R² + r² + ρ² = F + 2V²/F²
Ebben a speciáli esetben a kúp felszíne és térfogata
Fk = 2π(R² + r² + ρ²)
Vk =( 2π/3)ρ(R² + r² + ρ²)
A gömb képletei változatlanok.
Ezután már csak be kell helyettesíteni a számokat.
Módosítva: 5 éve
0
Még nem érkezett komment!
gyula205
válasza
Egyszer azt írod , hogy F = Fk - Fg = 122π. Máskor meg ezt: F = R² + r² - ρ² = 61 Kicsit egzaktabban nem lehetne írni erről?
0
Még nem érkezett komment!
gyula205
válasza
Egy egzaktabb leírás a következő:
A csonkakúp és a beírt gömb síkmetszete egy trapéz és a beírt kör. A trapéz szimmetrikus és érintőnégyszög is egyben, alapjai R és r, az érintőnégyszög miatt a szára (és egyben a csonkakúp alkotója)
a=R+r.
A gömb sugara legyen ρ. A trapéz magassága
m=2ρ.
A magasság a szárral és a hosszabbik alap egy részével derékszögű háromszöget alkot, melynek befogói: ρ és R-r, átfogója R+r. Pitagorasz-tételt felírva kapjuk:
ρ²=Rr
A felszínek:
Acsk = π(R²+r²+(R+r)a) = π(R²+r²+(R+r)²)
Ag = 4πρ² = 4πRr
Acsk-Ag = 122π = π(2R²+2r²+2Rr)-4πRr
Egyszerűsítés után:
61 = R²+r²-Rr (1)
A térfogatok:
Vcsk = πm(R²+r²+Rr)/3 = π·2ρ·(R²+r²+Rr)/3
Vg= = 4πρ³/3 = 4π·ρ·ρ²/3 = 4π·ρ·Rr/3
Vcsk-Vg = 224π = π·2ρ·(R²+r²+Rr)/3 - 4πρRr/3
Egyszerűsítés után:
336 = ρ·(R²+r²-Rr)
A zárójelben kapott mennyiség az (1) egyenlet jobb oldalával egyenlő, ezért: