Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Logaritmusos feladatok
R2D2
kérdése
1751
Valaki tudna segíteni pár matek példa megoldásában ?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, házi, megoldás, logaritmus
matek, házi, megoldás, logaritmus
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
Rantnad
{ 
}
válasza
Melyiket szeretnéd, hogy elmagyarázzuk?
Válassz ki legfeljebb 5-öt.
Válassz ki legfeljebb 5-öt.
0
- Még nem érkezett komment!
Rantnad
{ }
megoldása
1=a) lg(2x-3)=lg(x)
Először kikötéssel kezdünk; csak pozitív számok logaritmusát értelmezzük, ezért x>0 és 2x-3>0, tehát x>0 és x>3/2, tehát x>3/2-re keressük a megoldást.
A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt akkor lesznek ezek egyenlőek, hogyha az lg-n belül ugyanaz a szám áll, tehát
2x-3=x, ebből x=3 adódik. Ellenőrzés: lg(3)=lg(3), igaz.
8=h) Ismét kikötéssel kezdünk; 2x-5>0 és x^2-8>0, tehát x>5/2 és x>√8 vagy x<-√8, ezeket az x>√8 fogja igazzá tenni. Mivel a nevező nem lehet 0, ezért log₂(x²-8)≠0, vagyis log₂(x²-8)≠log₂1, a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt x²-8≠1, vagyis x≠±3, ebből csak a +3 zár ki még egy számot az előbbi egyenlőtlenségből, így az egyelet értelmezési tartománya: x>5/2, de x≠3.
Szorzunk a nevezőkkel: 2*log₂(2x-5)=log₂(x²-8)
Használjuk a bal oldalon a logaritmus k*loga(b)=loga)(bk) azonosságát: log₂((2x-5)²)=log₂(x²-8)
Szintén a logaritmusfüggvény monotonitása miatt (2x-5)²=x²-8
Kibontjuk a zárójelet: 4x²-20x+25=x²-8
0-ra redukáljuk a jobb oldalt: 3x²-20x+33=0, ennek a megoldása a megoldóképlet alapján
x₁=11/3 és x₂=3
A kikötés miatt az x=3 nem lesz megoldás, így marad az x=11/3 megoldásnak, ez ugyanis belefér az értelmezési tartományba.
11=k) log√6(x)+log1/6(x)+log₃₆(x)=1/2
A kikötés szerint x>0.
Használnunk kell az áttérés más alapú logaritmusra képletét: loga(b)=logc(b)/logc(a), ahol c tetszőleges pozitív, de nem 1.
36-os alapú logaritmusra térünk át, így
log√6(x)=log₃₆(x)/log₃₆(√6)=log₆(x)/(1/4)=4*log₆(x)=log₆(x⁴)
log1/6(x)=log₃₆(x)/log₃₆(1/6)=log₃₆(x)/(-1/2)=-2*log₃₆(x)=-log₃₆(x²)
Ezek alapján így alakul az egyenlet:
log₃₆(x⁴)-log₃₆(x²)+log₃₆(x)=1/2
A bal oldalon összevonunk az azonosságok alapján, a jobb oldalt átírjuk 36 alapú logaritmussá:
log₃₆(x⁴*x/x²)=log₃₆(6), majd a logaritmus monotonitására hivatkozva
x⁴*x/x²=6, erre x=³√6 adódik.
Ellenőrzés:
log√6(³√6)=2/3, ez úgy jön ki, hogy a √6-ot négyzetre emeljük, majd köbgyököt vonunk belőle, tehát ³√6=(√6)3/2, és ez a kitevő volt a kérdés.
log1/6(³√6)=-1/3, vesszük 1/6 reciprokát, ezért a - előjel, majd köbgyököt vonunk, így 1/3.
log36(√6)=1/6, mivel 36-ból gyököt vonunk, 6-ot kapunk, majd köbgyököt vonunk, tehát gyakorlatilag 6. gyököt vontunk, ami 1/6-ik hatvány.
2/3-1/3+1/6=4/6-2/6+1/6=3/6=1/2, tehát jól számoltunk.
15=2. d) log2^x(2x+1=2/x
Kikötés: logaritmuson belül negatív szám áll: 2x+1>0, vagyis 2x>-1, ez minden x-re igaz, mivel 2 minden hatványa pozitív.
Az alap nem lehet 1, ezért 2x≠1 vagyis x≠0, egyébként az alap mindig pozitív lesz, lásd. előbb.
Szorozzunk x-szel, használjuk az azonosságot, a jobb oldalt pedig írjuk át 2x alapú logaritmussá:
log2^x((2x+1)x)=log2^x(4x), majd eltüntetjük a logaritmust:
(2x+1)x=4x
Triviálisan x=0 megoldás lesz, de az eredetinek nem a kikötés miatt. Ha x nem 0, akkor x-edik gyököt vonunk: 2x+1=4, innen 2x=3, ennek definíció szerint a megoldása x=log₂(3)
Bizonyítás: a logaritmus alapja: 2log(2)[3]=3, a logaritmuson belül így 4 lesz, tehát log₃(4) lesz, jobb oldalon 2/log₂(3) van, tehát
log₃(4)=2/log₂(3)
A bal oldalon használhatjuk az azonosságot, ha átírjuk log₃(2²) alakra, ekkor 2*log₃(2) lesz belőle, így ha osztunk 2-vel:
log₃(2)=1/log₂(3)
A bal oldalt átírjuk 2-es alapú logaritmusra: =log₂(2)/log₂(3)=1/log₂(3), tehát ezek egyenlőek, így a számítás jó.
17= 2. b) log₉√ 3x *log₃(x/9)=1
Kikötés: x>0
Használjuk a második logaritmuson a megfelelő azonosságot:
log₃(x/9)=log₃(x)-log₃(9)=log₃(x)-2, ezért az egyenlet:
log₉(√ 3x )*(log₃(x)-2)=1, majd kibontjuk a zárójelet:
log₉(√ 3x )*log₃(x)-2*log₉(√ 3x )=1, használjuk a bal oldalon a második tagra az azonosságot:
log₉(√ 3x )*log₃(x)-log₉(3x)=1, írjuk a log₃(x)-et 9-es alapúra:
log₃(x)=log₉(x)/log₉(3)=log₉(x)/(1/2)=2*log₉(x), tehát
log₉(√ 3x )*2*log₉(x)-log₉(3x)=1, itt a 2-es szorzó mehet kitevőnek, ezzel kiütve a gyököt:
log₉(3x)*log₉(x)-log₉(3x)=1, itt az összegre vonatkozó azonosság alapján szétbonthatunk:
(log₉(3)+log₉(x))*log₉(x)-(log₉(3)+log₉(x))=1, az átláthatóság kedvéért legyen log₉(x)=t:
(log₉(3)+t)*t-(log₉(3)+t)=1, log₉(3)=1/2, így
(1/2+t)*t-(1/2+t)=1, zárójelbontás:
t/2+t²-1/2-t=1, szorzunk 2-vel:
t+2t²-1-2t=2, összevonunk és redukálunk:
2t²-t-3=0, ennek megoldásai t₁=6/4=3/2, t₂=-1. Mivel t=log₉(x), ezért egyszer 3/2=log₉(x), ennek megoldása x=27, -1=log₉(x), ennek pedig x=1/9. Remélem, ennek az ellenőrzése menni fog.
Először kikötéssel kezdünk; csak pozitív számok logaritmusát értelmezzük, ezért x>0 és 2x-3>0, tehát x>0 és x>3/2, tehát x>3/2-re keressük a megoldást.
A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt akkor lesznek ezek egyenlőek, hogyha az lg-n belül ugyanaz a szám áll, tehát
2x-3=x, ebből x=3 adódik. Ellenőrzés: lg(3)=lg(3), igaz.
8=h) Ismét kikötéssel kezdünk; 2x-5>0 és x^2-8>0, tehát x>5/2 és x>√8 vagy x<-√8, ezeket az x>√8 fogja igazzá tenni. Mivel a nevező nem lehet 0, ezért log₂(x²-8)≠0, vagyis log₂(x²-8)≠log₂1, a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt x²-8≠1, vagyis x≠±3, ebből csak a +3 zár ki még egy számot az előbbi egyenlőtlenségből, így az egyelet értelmezési tartománya: x>5/2, de x≠3.
Szorzunk a nevezőkkel: 2*log₂(2x-5)=log₂(x²-8)
Használjuk a bal oldalon a logaritmus k*loga(b)=loga)(bk) azonosságát: log₂((2x-5)²)=log₂(x²-8)
Szintén a logaritmusfüggvény monotonitása miatt (2x-5)²=x²-8
Kibontjuk a zárójelet: 4x²-20x+25=x²-8
0-ra redukáljuk a jobb oldalt: 3x²-20x+33=0, ennek a megoldása a megoldóképlet alapján
x₁=11/3 és x₂=3
A kikötés miatt az x=3 nem lesz megoldás, így marad az x=11/3 megoldásnak, ez ugyanis belefér az értelmezési tartományba.
11=k) log√6(x)+log1/6(x)+log₃₆(x)=1/2
A kikötés szerint x>0.
Használnunk kell az áttérés más alapú logaritmusra képletét: loga(b)=logc(b)/logc(a), ahol c tetszőleges pozitív, de nem 1.
36-os alapú logaritmusra térünk át, így
log√6(x)=log₃₆(x)/log₃₆(√6)=log₆(x)/(1/4)=4*log₆(x)=log₆(x⁴)
log1/6(x)=log₃₆(x)/log₃₆(1/6)=log₃₆(x)/(-1/2)=-2*log₃₆(x)=-log₃₆(x²)
Ezek alapján így alakul az egyenlet:
log₃₆(x⁴)-log₃₆(x²)+log₃₆(x)=1/2
A bal oldalon összevonunk az azonosságok alapján, a jobb oldalt átírjuk 36 alapú logaritmussá:
log₃₆(x⁴*x/x²)=log₃₆(6), majd a logaritmus monotonitására hivatkozva
x⁴*x/x²=6, erre x=³√6 adódik.
Ellenőrzés:
log√6(³√6)=2/3, ez úgy jön ki, hogy a √6-ot négyzetre emeljük, majd köbgyököt vonunk belőle, tehát ³√6=(√6)3/2, és ez a kitevő volt a kérdés.
log1/6(³√6)=-1/3, vesszük 1/6 reciprokát, ezért a - előjel, majd köbgyököt vonunk, így 1/3.
log36(√6)=1/6, mivel 36-ból gyököt vonunk, 6-ot kapunk, majd köbgyököt vonunk, tehát gyakorlatilag 6. gyököt vontunk, ami 1/6-ik hatvány.
2/3-1/3+1/6=4/6-2/6+1/6=3/6=1/2, tehát jól számoltunk.
15=2. d) log2^x(2x+1=2/x
Kikötés: logaritmuson belül negatív szám áll: 2x+1>0, vagyis 2x>-1, ez minden x-re igaz, mivel 2 minden hatványa pozitív.
Az alap nem lehet 1, ezért 2x≠1 vagyis x≠0, egyébként az alap mindig pozitív lesz, lásd. előbb.
Szorozzunk x-szel, használjuk az azonosságot, a jobb oldalt pedig írjuk át 2x alapú logaritmussá:
log2^x((2x+1)x)=log2^x(4x), majd eltüntetjük a logaritmust:
(2x+1)x=4x
Triviálisan x=0 megoldás lesz, de az eredetinek nem a kikötés miatt. Ha x nem 0, akkor x-edik gyököt vonunk: 2x+1=4, innen 2x=3, ennek definíció szerint a megoldása x=log₂(3)
Bizonyítás: a logaritmus alapja: 2log(2)[3]=3, a logaritmuson belül így 4 lesz, tehát log₃(4) lesz, jobb oldalon 2/log₂(3) van, tehát
log₃(4)=2/log₂(3)
A bal oldalon használhatjuk az azonosságot, ha átírjuk log₃(2²) alakra, ekkor 2*log₃(2) lesz belőle, így ha osztunk 2-vel:
log₃(2)=1/log₂(3)
A bal oldalt átírjuk 2-es alapú logaritmusra: =log₂(2)/log₂(3)=1/log₂(3), tehát ezek egyenlőek, így a számítás jó.
17= 2. b) log₉√ 3x *log₃(x/9)=1
Kikötés: x>0
Használjuk a második logaritmuson a megfelelő azonosságot:
log₃(x/9)=log₃(x)-log₃(9)=log₃(x)-2, ezért az egyenlet:
log₉(√ 3x )*(log₃(x)-2)=1, majd kibontjuk a zárójelet:
log₉(√ 3x )*log₃(x)-2*log₉(√ 3x )=1, használjuk a bal oldalon a második tagra az azonosságot:
log₉(√ 3x )*log₃(x)-log₉(3x)=1, írjuk a log₃(x)-et 9-es alapúra:
log₃(x)=log₉(x)/log₉(3)=log₉(x)/(1/2)=2*log₉(x), tehát
log₉(√ 3x )*2*log₉(x)-log₉(3x)=1, itt a 2-es szorzó mehet kitevőnek, ezzel kiütve a gyököt:
log₉(3x)*log₉(x)-log₉(3x)=1, itt az összegre vonatkozó azonosság alapján szétbonthatunk:
(log₉(3)+log₉(x))*log₉(x)-(log₉(3)+log₉(x))=1, az átláthatóság kedvéért legyen log₉(x)=t:
(log₉(3)+t)*t-(log₉(3)+t)=1, log₉(3)=1/2, így
(1/2+t)*t-(1/2+t)=1, zárójelbontás:
t/2+t²-1/2-t=1, szorzunk 2-vel:
t+2t²-1-2t=2, összevonunk és redukálunk:
2t²-t-3=0, ennek megoldásai t₁=6/4=3/2, t₂=-1. Mivel t=log₉(x), ezért egyszer 3/2=log₉(x), ennek megoldása x=27, -1=log₉(x), ennek pedig x=1/9. Remélem, ennek az ellenőrzése menni fog.
1
- Még nem érkezett komment!