Melyiket szeretnéd, hogy elmagyarázzuk?

Válassz ki legfeljebb 5-öt.

1,8,11,15,17, köszönöm előre is

1=a) lg(2x-3)=lg(x)

Először kikötéssel kezdünk; csak pozitív számok logaritmusát értelmezzük, ezért x>0 és 2x-3>0, tehát x>0 és x>3/2, tehát x>3/2-re keressük a megoldást.

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt akkor lesznek ezek egyenlőek, hogyha az lg-n belül ugyanaz a szám áll, tehát

2x-3=x, ebből x=3 adódik. Ellenőrzés: lg(3)=lg(3), igaz.

8=h) Ismét kikötéssel kezdünk; 2x-5>0 és x^2-8>0, tehát x>5/2 és x>√8 vagy x<-√8, ezeket az x>√8 fogja igazzá tenni. Mivel a nevező nem lehet 0, ezért log₂(x²-8)≠0, vagyis log₂(x²-8)≠log₂1, a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt x²-8≠1, vagyis x≠±3, ebből csak a +3 zár ki még egy számot az előbbi egyenlőtlenségből, így az egyelet értelmezési tartománya: x>5/2, de x≠3.

Szorzunk a nevezőkkel: 2*log₂(2x-5)=log₂(x²-8)
Használjuk a bal oldalon a logaritmus k*loga(b)=loga)(bk) azonosságát: log₂((2x-5)²)=log₂(x²-8)
Szintén a logaritmusfüggvény monotonitása miatt (2x-5)²=x²-8
Kibontjuk a zárójelet: 4x²-20x+25=x²-8
0-ra redukáljuk a jobb oldalt: 3x²-20x+33=0, ennek a megoldása a megoldóképlet alapján
x₁=11/3 és x₂=3
A kikötés miatt az x=3 nem lesz megoldás, így marad az x=11/3 megoldásnak, ez ugyanis belefér az értelmezési tartományba.

11=k) log√6(x)+log1/6(x)+log₃₆(x)=1/2

A kikötés szerint x>0.

Használnunk kell az áttérés más alapú logaritmusra képletét: loga(b)=logc(b)/logc(a), ahol c tetszőleges pozitív, de nem 1.
36-os alapú logaritmusra térünk át, így

log√6(x)=log₃₆(x)/log₃₆(√6)=log₆(x)/(1/4)=4*log₆(x)=log₆(x⁴)
log1/6(x)=log₃₆(x)/log₃₆(1/6)=log₃₆(x)/(-1/2)=-2*log₃₆(x)=-log₃₆(x²)

Ezek alapján így alakul az egyenlet:
log₃₆(x⁴)-log₃₆(x²)+log₃₆(x)=1/2
A bal oldalon összevonunk az azonosságok alapján, a jobb oldalt átírjuk 36 alapú logaritmussá:
log₃₆(x⁴*x/x²)=log₃₆(6), majd a logaritmus monotonitására hivatkozva
x⁴*x/x²=6, erre x=³√6 adódik.

Ellenőrzés:
log√6(³√6)=2/3, ez úgy jön ki, hogy a √6-ot négyzetre emeljük, majd köbgyököt vonunk belőle, tehát ³√6=(√6)3/2, és ez a kitevő volt a kérdés.
log1/6(³√6)=-1/3, vesszük 1/6 reciprokát, ezért a - előjel, majd köbgyököt vonunk, így 1/3.
log36(√6)=1/6, mivel 36-ból gyököt vonunk, 6-ot kapunk, majd köbgyököt vonunk, tehát gyakorlatilag 6. gyököt vontunk, ami 1/6-ik hatvány.

2/3-1/3+1/6=4/6-2/6+1/6=3/6=1/2, tehát jól számoltunk.

15=2. d) log2^x(2x+1=2/x

Kikötés: logaritmuson belül negatív szám áll: 2x+1>0, vagyis 2x>-1, ez minden x-re igaz, mivel 2 minden hatványa pozitív.
Az alap nem lehet 1, ezért 2x≠1 vagyis x≠0, egyébként az alap mindig pozitív lesz, lásd. előbb.

Szorozzunk x-szel, használjuk az azonosságot, a jobb oldalt pedig írjuk át 2x alapú logaritmussá:

log2^x((2x+1)x)=log2^x(4x), majd eltüntetjük a logaritmust:

(2x+1)x=4x

Triviálisan x=0 megoldás lesz, de az eredetinek nem a kikötés miatt. Ha x nem 0, akkor x-edik gyököt vonunk: 2x+1=4, innen 2x=3, ennek definíció szerint a megoldása x=log₂(3)

Bizonyítás: a logaritmus alapja: 2log(2)[3]=3, a logaritmuson belül így 4 lesz, tehát log₃(4) lesz, jobb oldalon 2/log₂(3) van, tehát

log₃(4)=2/log₂(3)

A bal oldalon használhatjuk az azonosságot, ha átírjuk log₃(2²) alakra, ekkor 2*log₃(2) lesz belőle, így ha osztunk 2-vel:

log₃(2)=1/log₂(3)

A bal oldalt átírjuk 2-es alapú logaritmusra: =log₂(2)/log₂(3)=1/log₂(3), tehát ezek egyenlőek, így a számítás jó.

17= 2. b) log₉√ 3x *log₃(x/9)=1

Kikötés: x>0

Használjuk a második logaritmuson a megfelelő azonosságot:
log₃(x/9)=log₃(x)-log₃(9)=log₃(x)-2, ezért az egyenlet:

log₉(√ 3x )*(log₃(x)-2)=1, majd kibontjuk a zárójelet:
log₉(√ 3x )*log₃(x)-2*log₉(√ 3x )=1, használjuk a bal oldalon a második tagra az azonosságot:
log₉(√ 3x )*log₃(x)-log₉(3x)=1, írjuk a log₃(x)-et 9-es alapúra:

log₃(x)=log₉(x)/log₉(3)=log₉(x)/(1/2)=2*log₉(x), tehát
log₉(√ 3x )*2*log₉(x)-log₉(3x)=1, itt a 2-es szorzó mehet kitevőnek, ezzel kiütve a gyököt:
log₉(3x)*log₉(x)-log₉(3x)=1, itt az összegre vonatkozó azonosság alapján szétbonthatunk:
(log₉(3)+log₉(x))*log₉(x)-(log₉(3)+log₉(x))=1, az átláthatóság kedvéért legyen log₉(x)=t:

(log₉(3)+t)*t-(log₉(3)+t)=1, log₉(3)=1/2, így
(1/2+t)*t-(1/2+t)=1, zárójelbontás:
t/2+t²-1/2-t=1, szorzunk 2-vel:
t+2t²-1-2t=2, összevonunk és redukálunk:
2t²-t-3=0, ennek megoldásai t₁=6/4=3/2, t₂=-1. Mivel t=log₉(x), ezért egyszer 3/2=log₉(x), ennek megoldása x=27, -1=log₉(x), ennek pedig x=1/9. Remélem, ennek az ellenőrzése menni fog.