Szia!

Egy kockának ugye 6 lapja van, ez hat lapközéppontot jelent, tehát a kapott testnek hat csúcspontja lesz. Ha gyorsan felvázolod magadnak a kockát és összekötögeted a lapközéppontokat, látszani fog, hogy a keresett test egy oktaéder. Oktaéder felszínéhez és térfogatához van képlet, viszont kell hozzá az élhossz, tehát azt kell kiszámolni.

A kockák élei 10cm hosszúakígy tudjuk, hogy a laközéppontok 5cm magasságban helyezkednek el. Az oktaéder egy élét két lapközéppont összekötésével kapjuk. Most képzeld el, hogy teljesen szemből nézel a kockádra, úgy hogy csak egy 10x10-es négyzetet látsz. Ebben a szembőlnézetben a kocka lapközépponjai felezik a négyzet oldalait, tehát ha összekötsz két lapközéppontot, egy derékszögű háromszöget kapsz (nem tudom, hogy ez így bármennyire is érthető-e, csatolok képet amin rendesen látszik). Most, hogy van egy derékszögű háromszögünk, aminek tudjuk az a és b élhosszát, pitagorasz-tétellel ki tudjuk számolni a c oldalhosszt, ami történetesen az oktaéder élhossza.

a²+b²=c²
√ a²+b² =c

tehát √ 5²+5² =5√2

c (a rajzomon x) értéke tehát 5√2cm.
Így mostmár be lehet helyettesíteni az oktaéder felszín- és térfogatképleteibe.

A=2√3x²→ A=(2√3)×(5√2)²=173,21cm²
V=√2/3x³ → V=(√2/3)×(5√2)²=166,66cm³
(mindkét érték két tizedesjegyre van kerekítve)

Remélem tudtam segíteni! (és hogy kibogarászható a jegyzetem)