Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika feladat
evelin25
kérdése
1819
Mekkora szöget zár be az egyenes körkúp alkotója az alapkör síkjával, ha alkotója 13 m, alapkörének sugara 5 m? Mekkora a kúp nyílásszöge, felszíne és térfogata?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
Az az alaplappal merőlegesen félbevágjuk a kúpot, akkor belül egy egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahol az alap hossza 10 m (a test alapkörének átmérője), szárai hossza 13 m (alkotók). Ebben a háromszögben az alapon fekvő szögek megegyeznek az alkotók és az alaplap hajlásszögével, a szárszögek pedig a kúp nyílásszögével.
Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságot, ekkor két derékszögű háromszöget nyerünk, ahol az egyik befogó hossza 5 méter (a magasság felezi az alapot), az átfogó 13 méter, hajlásszöge legyen α, ekkor az adatok ismeretében felírhatjuk a szög koszinuszát:
cos(α)=5/12, erre α=~65,375°.
Tehát az egyenlő szárú háromszög alapjain fekvő szög nagysága 65,37°, és mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a szárak hajlásszöge 180°-2*65,375°=49,25°.
A felszín képletét tudjuk: A=r²*π+r*π*a, ide csak be kell írni a megadottakat és végigszámolni, Ha ezt esetleg nem tudjuk, akkor azt kell tudnunk, hogy a felszín az alapkör területének és a palást területének összege. Az alapkör területét tudjuk, T=r²*π=5²*π=25π m² (egyelőre így hagyjuk). A palástról azt kell tudni, hogy ha kiterítjük, akkor egy körcikket kapunk, amelynek körívhossza egyenlő az alapkör kerületével (mivel pontosan illeszkedik rá). Az α hajlásszögű, r sugarú körcikk körívének hossza 2r*π*α/360°. Esetünkben a körcikk sugara megegyezik a test alkotójával, ezért r=13, így felírható ez az egyenlet:
2*13*π*α/360°=2*5*π, innen egyszerű egyenletrendezés után kapjuk, hogy
α=(1800/13)°
Hasonló gondolatmenettel jön ki a körcikk területe is, mint a körív hossza: T=r²*π*α/360°, itt még mindig r=13, α=(1800/13)°, így
T=13²*π*(1800/13)°/360°=65π m²
25π+65π=90π m², ezt igény szerint lehet kerekíteni.
A térfogatot csak a térfogatképlettel tudjuk meghatározni (máskülönben integrálni kellene, az meg ugye nem megy): V=Talap*M/3, ehhez viszont még kell a testmagasság, ami megegyezik a háromszög alaphoz tartozó magasságával, amit Pitagorasz tételével tudunk kiszámítani;
5²+M²=13², erre M=12 adódik. Tehát a test térfogata 5²*π*12/3=100π m³.
Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságot, ekkor két derékszögű háromszöget nyerünk, ahol az egyik befogó hossza 5 méter (a magasság felezi az alapot), az átfogó 13 méter, hajlásszöge legyen α, ekkor az adatok ismeretében felírhatjuk a szög koszinuszát:
cos(α)=5/12, erre α=~65,375°.
Tehát az egyenlő szárú háromszög alapjain fekvő szög nagysága 65,37°, és mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a szárak hajlásszöge 180°-2*65,375°=49,25°.
A felszín képletét tudjuk: A=r²*π+r*π*a, ide csak be kell írni a megadottakat és végigszámolni, Ha ezt esetleg nem tudjuk, akkor azt kell tudnunk, hogy a felszín az alapkör területének és a palást területének összege. Az alapkör területét tudjuk, T=r²*π=5²*π=25π m² (egyelőre így hagyjuk). A palástról azt kell tudni, hogy ha kiterítjük, akkor egy körcikket kapunk, amelynek körívhossza egyenlő az alapkör kerületével (mivel pontosan illeszkedik rá). Az α hajlásszögű, r sugarú körcikk körívének hossza 2r*π*α/360°. Esetünkben a körcikk sugara megegyezik a test alkotójával, ezért r=13, így felírható ez az egyenlet:
2*13*π*α/360°=2*5*π, innen egyszerű egyenletrendezés után kapjuk, hogy
α=(1800/13)°
Hasonló gondolatmenettel jön ki a körcikk területe is, mint a körív hossza: T=r²*π*α/360°, itt még mindig r=13, α=(1800/13)°, így
T=13²*π*(1800/13)°/360°=65π m²
25π+65π=90π m², ezt igény szerint lehet kerekíteni.
A térfogatot csak a térfogatképlettel tudjuk meghatározni (máskülönben integrálni kellene, az meg ugye nem megy): V=Talap*M/3, ehhez viszont még kell a testmagasság, ami megegyezik a háromszög alaphoz tartozó magasságával, amit Pitagorasz tételével tudunk kiszámítani;
5²+M²=13², erre M=12 adódik. Tehát a test térfogata 5²*π*12/3=100π m³.
1
- Még nem érkezett komment!