Négyzetgyökös egyenletek

Feltételek: gyökjel alatt nem lehet negatív
2x+8≥0, x≥-4

Ezután emelhetünk négyzetre:

2x+8 = x^2+8x+16

x^2+6x+8=0

(x+2)(x+4)=0

`x_1`=-2,
`x_2` = -4.
Feltételeknek megfelel.

Ellenőrzés!

Van egy másik mód, ahogyan ezt meg lehet oldani, és érdemes azt is elsajátítani, mert bonyolultabb egyenleteknél az a megoldási mód lesz a kulcs, vagy legalábbis nagyban lerövidítheti a levezetést;

A gyökjel alatt emeljünk ki 2-t:

√ 2*(x+4) =x+4

Látható, hogy az "x+4" mindkét oldalon megtalálható. Ezt nevezzük el egy másik ismeretelennel, mondjuk z-vel:

√ 2z =z

Ezt egy kicsit egyszerűbben meg tudjuk oldani; négyzetre emelünk:

2z = z², kivonunk 2z-t:

0 = z²-2z, kiemelünk z-t:

0 = z*(z-2), ennek megoldásai z₁=0 és z₂=2. Azonban itt még nincs vége, mivel nekünk x értéke kell, tehát z helyére vissza kell írni az x+4-et, így:

x+4=0, erre x=-4 adódik
x+4=2, erre pedig x=-2.

Ez a megoldási mód olyan esetekben érdekes, amikor a "natúr" megoldási móddal sokkal bonyolultabb egyenlethez jutunk, ami talán még meg sem oldható. Például:

√ x²+x+43  = x²+x+1

Ha ezt négyzetre emeléssel kezdenénk megoldani, akkor végül egy negyedfokú egyenlethez jutnánk, amelyre bár van megoldóképlet, középszinten nem tanítják, ellenben a helyettesítéses módszerrel csak két másodfokú egyenletet kell a végén megoldani.