Határértékszámítás

Néhány videót tudok ajánlani:
https://www.youtube.com/results?search_query=hat%C3%A1r%C3%A9rt%C3%A9k+sz%C3%A1m%C3%ADt%C3%A1s+sorozatok
Közte van a sajátom is: https://www.youtube.com/watch?v=GbUWxxi3rz4&t=3s

a)
`lim_(n→∞) ((n+1)/(n-2))^2`
Ennél az, hogy az egész négyzetre van emelve, nem sokat számít. Ki kell számolni négyzet nélkül, aztán ami kijön, annak a négyzete a megoldás. Vagyis nézzük ezt:

`lim_(n→∞) (n+1)/(n-2)`

A számláló is a végtelenhez tart ugye, meg a nevező is...
Azokat nem igazán szeretjük, nem lehet látni, ahogy abból 1, 8, 3542 vagy végtelen lesz-e (vagy bármi más). Trükközni kell...

Szokásos trükk az, hogy nézzük meg, melyik a legnagyobb hatvány a kifejezésben (akár a számlálóban, akár a nevezőben). Ez most simán az `n` első hatványon.

Ezek után a számlálót és a nevezőt is osszuk el `n`-nel:
`lim_(n→∞) (n/n+1/n)/(n/n-2/n)=lim_(n→∞) (1+1/n)/(1-2/n)`
Most már az `1` rendben van, az `1/n` pedig végtelenben a nullához tart (az olyat szeretjük), más most nincs:
`lim_(n→∞) (1+1/n)/(1-2/n)=(1+0)/(1-0)=1`
Végül ne felejtsük el négyetre emelni: `1^2=1`, kész.

b)
`lim_(n→∞)⁡ ((n-3)/(n+1))^(n+1)`
Ez egy speciális dolog lesz... Nem elég az, hogy végtelen per végtelen a tört, az egész még a végtelenedik hatványra van emelve! Az viszont már veszélyes dolog, az olyat sima eszközökkel nem lehet kitalálni, ide meg kell valamit tanulni! Mégpedig ezt, ami hasonlít a feladathoz annyiban, hogy itt is végtelendik hatványra van emelve valami:
`lim_(n→∞)⁡ (1+1/n)^(n)=e`
Ezt meg kell tanulni.
Sőt, ezt érdemes megtanulni:
`lim_(n→∞)⁡ (1+k/n)^(n)=e^k`
ahol `k` valamilyen állandó szám, mondjuk 1, vagy 2, vagy -3, stb.

Persze most nem ez a feladat, de jó lenne valami olyanná alakítani, amit ennek az `e`-nek a segítségével ki tudunk fejezni:

`lim_(n→∞)⁡ ((n-3)/(n+1))^(n+1)=lim_(n→∞)⁡ ((n+1-4)/(n+1))^(n+1)=lim_(n→∞)⁡ (1+(-4)/(n+1))^(n+1)`
Ez már kezd hasonlítani... Vezessünk be egy másik ismeretlent:
`m=n+1`
Amikor `n` tart a végtelenhez, akkor `m` is a végtelenhez tart, ez ugye tiszta?
`lim_(m→∞)⁡ (1+(-4)/m)^m`
Ezt viszont már tudjuk is: `e^(-4)`
Ugye te is tudtad, nem kell tovább magyarázni?

`lim_(n→∞)⁡ ((2n-1)/(2n-5))^(n-1)`
Ez is az a végtelenedik hatványon dolog... kicsit át kell alakítani:

`lim_(n→∞)⁡ ((2n-5+4)/(2n-5))^(n-1)=lim_(n→∞)⁡ (1+4/(2n-5))^(n-1)`
Viszont most a nevező meg a kitevő nem ugyanaz! Nem lehet simán azt csinálni, mint az előbb az `m`-mel.
Hát osszuk el 2-vel a nevezőt, meg persze a számlálót is, hogy ne változzon a kifejezés:
`=lim_(n→∞)⁡ (1+2/(n-"2,5"))^(n-1)`
Még mindig nem ugyanaz...
Most módosítsuk a kitevőt:
`=lim_(n→∞)⁡ (1+2/(n-"2,5"))^(n-"2,5"+"1,5")=lim_(n→∞)⁡ ((1+2/(n-"2,5"))^(n-"2,5")·(1+2/(n-"2,5"))^("1,5"))`
Ez idáig ugye tiszta...
Most már tudjuk az `m=n-"2,5"` trükköt csinálni. Amikor `n` a végtelenhez tart, akkor kicsit gondoljunk bele... `m` is a végtelenhez tart.
`=lim_(m→∞)⁡ ((1+2/m)^m·(1+2/m)^("1,5"))`
`=lim_(m→∞)⁡ (1+2/m)^m · lim_(m→∞)⁡ (1+2/m)^("1,5")`
`=e^2 · lim_(m→∞)⁡ (1+2/m)^("1,5")`

Idáig ugye követted?

A fennmaradó hatvány viszont már konstansadik hatvány, nem végtelenedik, azt szeretjük. Azt ki lehet számolni úgy, hogy megnézzük, a hatványalap hová tart, és aztán annak vesszük a másfeledik hatványát.
`=e^2 · (lim_(m→∞)⁡ (1+2/m))^("1,5")`
Ez kicsit furán néz ki, de ugye érted?
A belseje ez:
`= lim_(m→∞)⁡ (1+2/m)`
ami pedig sima eset: `2/m` a nullához tart ugye, tehát:
`= lim_(m→∞)⁡ (1+2/m)=1`
aminek a másfeledik hatványa önmaga, szintén 1. Azzal szorozzuk az `e^2`-et, tehát a megoldás `e^2`