Húrdeltoid

Legyen a deltoid két oldala `a` és `b`, ahol `a≤b` rövidebbik átlója `f`, ekkor hosszabbik átlója `2f`.
A húrdeltoidról azt kell tudni, hogy a hosszabbik átlója két derékszögű háromszögre bontja a deltoidot (mivel a hosszabbik átló a köréírható kör átmérője, így Thalesz tételéből adódik). Ebből adódóan Pitagorasz tételének teljesülnie kell, tehát
`a²+b²=(2f)²`, vagyis `a²+b²=4f²`
A deltoid területét kétféleképpen tudjuk kiszámolni; egyrészt az átlókból `(f*(2f))/2=f²`, másrészt `2*(a*b)/2=a*b`, tehát `a*b=f²`, ennek a két egyenletnek kell egyszerre teljesülnie.
Mivel `f²` értéke ismert, ezért ezt beírhatjuk az első egyenletbe:

`a²+b² = 4*a*b`

Ez az egyenlet megoldható, mint egy másodfokú paraméteres egyenlet, de megoldható elemi lépésekkel is; vonjunk ki mindkét oldalból `4ab`-t:
`a²+b²-4ab=0`, most teljes négyzetté alakítjuk az `a`-s tag szerint (a []-ben látható):
`[(a-2b)²-4b²]+b²=0`, összevonunk:
`(a-2b)²-3b²=0`, hozzáadunk `3b²`-et:
`(a-2b)²=3b²`, a gyökvonás előtt meg kellene gondolni, hogy kell-e a `±` a számításba; a bal oldalon látható zárójelben a kifejezés értéke biztosan negatív (mivel `a≤b`, így `a<2b`, így `a-2b<0`), így a gyökvonásnak csak a negatív eredménye szükséges, tehát ezt az eredményt kapjuk:
`a-2b=-√3*b`, hozzáadunk `2b`-t és kiemelünk `b`-t:
`a=b*(2-√3)`, végül osztunk `b`-vel:
`a/b=2-√3`

Azért osztottunk `b`-vel, mert ekkor a derékszögű háromszögben az `a` oldallal szemközti szög (ez legyen `α`) definíció szerinti tangensét kapjuk meg, tehát:

`tg(α)=2-√3`, ennek megoldása `α=15°`, ennek kétszerese a deltoid egyik szöge, tehát 30°-os, ebből másik szöge 150°-os, tehát a deltoid legnagyobb szöge 150°-os.

Szabad egy picit egyszerűbben?

A jelölések értelmezése a mellékelt rajzon.
https://i.imgur.com/EFBL6Xk.png

Mint látható, a rajz egy másik feladathoz készült, de az itteni példára vonatkozó elemek rajta vannak.
Ha a BAC szög α, akkor a BOC szög 2α (Kerületi szög -> középponti szög)
A feladat szerint a hosszabbik átló c = 2R, a rövidebbik ennek a fele, vagyis c/2 = R.
Az ábra a példa deltoidjának a felét mutatja, így az m a rövidebbik átló fele, azaz R/2.

Ezekkel írható
m = R*sin(2α)
R/2 = R*sin(2α)
ebből
sin(2α) = 1/2
vagyis
2α = 30°
és
α = 15°

ßmax = 2(90 - α)
ßmax = 150°
==========