Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Mi ennek a kifejezésnek a lehető legkisebb és legnagyobb értéke.
both.bence.29
kérdése
283
a,b nem negatív valós számok.
a²+b²=1
V=a^4+b^4+ab+1/a+b
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Törölt{ Fortélyos }
válasza
Gondolom algebrai úton kellene...
1
both.bence.29:
Ezt hogyan kaptad meg?
5 éve0
bongolo:
Beírta Excel-be
5 éve0
gyula205:
Erről a feladatról az jutott az eszembe, hogy egyszer egy érdekes könyv került a kezembe. Ha nem tévedek közepek és egyenlőtlenségek segítségével oldottak meg egy rahedli szélsőértékes feladatot. Nem tudja valaki ki a szerzőés mi a címe?
5 éve0
Rantnad{ }
megoldása
Első körben emeljük négyzetre a megkötést:
`a⁴+2a²b²+b⁴=1`, erre `a⁴+b⁴=1-2a²b²` adódik, tehát a kérdéses kifejezés átírható eszerint:
`V=(1-2a²b²+ab+1)/(a+b)`, vagyis `V=(-2a²b²+ab+2)/(a+b)`
Térjünk vissza újra a megkötésre; adjunk hozzá `2ab`-t, ekkor a bal oldalon `(a+b)²` lesz:
(a+b)² = 1+2ab
Mivel tudjuk, hogy nemnegatív `x;y` esetén ha `x²≤y²`, akkor `x≤y`, ezért ahol `(a+b)²`-nek minimuma van, ott `a+b`-nek is. Látható, hogy `a=0` és `b=1` esetén (vagy fordítva) lesz minimuma, értéke 1, a számláló értéke ekkor 2, és intuitíve úgy érezzük, hogy ez lesz a számláló maximális értéke, tehát megsejtjük, hogy ennek a törtnek a maximuma `2/1=2`. Már csak meg kell oldanunk a
`(-2a²b²+ab+2)/(a+b) ≤ 2` egyenlőtlenséget. Ez egyszerűen megoldható mint egy másodfokú paraméteres egyenlőtlenség.