Csatoltam képet.

Nem megoldás, csak egy ábra:

A megoldás megvan, csak arra nem jöttem még rá, hogy ez hogyan jött ki.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x-%3E0+(1%2Bsin%5E2(x))%5E(1%2Fx%5E2)

Félig megvan a megoldás levezetése. Szerintem itt a rendőr elvet kellene használni. Addig eljutottam, hogy a sorozatot felülről becsültem egy e-hez tartó sorozattal, még alulról is becsülni kellene egy olyan sorozattal ami e-hez tart és meg is van a megoldás.
n:=x^2 ekkor x=√n és ha x->0 akkor az n is 0-hoz fog tartani. Ekkor a határértékben lévő kifejezés: (1+sin^2(√n))^(1/n)-re módosul.
(1+sin√n*sin√n)^(1/n)<=(1+n)^(1/n). Itt azt használtam fel hogy sin√n≤√n ha √n>0 ez minden n-re igaz lesz.
lim x->0 (eredeti sorozat)≤lim n->0 (1+n)^n=e

Úgy jön ki, hogy megfelelően kis (0-hoz közeli) x-re sin(x)=~x, ezért a függvény lecserélhető (1+x²)(1/x²)-re. Itt alkalmazhatjuk azt a szábályt, hogy lim(x→0+) f(x)=lim(x→∞) f(1/x), ezért a függvényből ez lesz: (1+1/x²)x², ahol x→∞. Most legyen x²=a, és mivel x→∞, ezért a→∞-ben (1+1/a)a, erről pedig tudjuk, hogy e-hez tart.

Tehát az eredeti is e-hez tart, (0+)-ban. Lévén a függvény páros, (0-)-ban is ugyanez a történet.