Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Forgáskúp térfogata?

664
Egy forgáskúp alapkörének sugara 9,6 cm, kiterített palástjának közbezárt szöge 100°. Mekkora a térfogata?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Kúp térfogat
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

4
Térfogat=r^2*π*m
Azaz a magasságot kell kiszámítani. Az r, m és a egy derékszögű háromszöget alkot. Azaz ha ismerjük a-t akkor ki tudjuk számítani m-et.
Kiterített palálst egy körcikk, melynek sugara a. Körcikk kerülete/kör kerülete=100/360 (A körcikk kerülete megegyezik az alapkör kerületével)
9,6*2*π/2*a*π=100/360 (2-vel és π-vel egyszerűsítve)
9,6/a=100/360 a=34,56
m^2=a^2-r^2
m^2=34,56^2-9,6^2
m=33,19
V=9,6^2*π*33,19=19218,95 cm³
0

Az α szögű körcikk körívének hossza 2*r*pí*α/360°. Ennek a sugara megegyezik a test alkotójával, ezért legyen r=a, ekkor felírható ez az egyenlet:

2*a*π*100°/360°=2*9,6*π, elvégezzük a szorzásokat, osztásokat

a*π*5/9=19,2*π, a-ra rendezünk

a=34,56 cm.

Tudjuk, hogy az alapkör sugara, a testmagasság és a test alkotója derékszögű háromszöget alkotnak, ahol az alkotó az átfogó. Ha a testmagasság M, akkor Pitagorasz tételével:

9,6²+M²=34,56²
92,16+M²=1194,3936
M²=1102,2336
M=~33,2 cm

A kúp térfogata alapterület*magasság/3=r²*π*M/3=9,6*π*33,2/3=106,24π, ezt igény szerint lehet még kerekíteni.
0

Egy kép a megoldás elejéhez:
0

A 9,6 centiméteres kör kerülete 2*9,6*π, azaz 19,2π cm.
19,2π egyenlő a palást oldalhosszával ('a') leírt sugarú kör 100°-os középponti szöghöz tartozó körívének hosszával. Tehát (100*2*a*π)/360=19,2π
200*a*π=6912π
a=34,56 cm

Vegyük a kúp alapkörének középpontját O-nak, csúcsát P-nek, az alapkör egy tetszőleges pontját pedig Q-nak. Így QOP háromszög derékszögű az O pontban. A PO (magasság) hossza a Pitagorasz-tétel alapján:
34,562-9,62=PO2
PO2=1102,23
PO=33,2

A forgáskúp térfogatszámításának képlete: (Talapkör*magasság)/3
Esetünkben
9,62*π*33,23, azaz (9,62*π*33,2)/3
=3204,1 cm3
0