Egy alap hibát vétettél: (a-b)(a+b)=a²-b², de nem emelted négyzetre az első tagot.
Meg az előjelek se igazán jók.
Persze a vége teljesen más lesz, de próbáld végigcsinálni.

(végtelen - végtelen) határérték esetén úgy tudtam hogy az átalakítást, hogy meglehessen mondani a sorozat határértékét az alábbi képlet alapján kell végezni: (mellékelt kép)

Egyébként köszönöm a választ. Akkor ezt egyszerűen egy nevezetes azonosság segítségével lehet egyszerűsíteni, ha ilyen alakban van a számsorozat?

Tehát mint itt, ez alapján próbáltam megcsinálni, hiszen itt is végtelen - végtelen típusú a határérték.

Szóval `lim_(n→∞)(2n-sqrt(4n^2+5n-1))`
Ugyanúgy kell, mint ahogy a `sqrta-sqrtb`-vel írtad, csak hát most az első nem a gyök alatt van. Ezért is felejtsd el a négyzetgyökös képletet, amit egy képben elküldtél fentebb, nem szabad képleteket bemagolni, az értelmét kell megérteni, mert egyébként csak elrontod.

Szóval a lényeg, hogy `a-b` (akár van ott valahol gyök, akár nincs) értéke nem változik, ha be is szorzod és el is osztod ugyanazzal az `a+b`-vel:
`a-b=(a-b)·(a+b)/(a+b)`
Hogy mi értelme van ennek? Az, hogy a számlálóban ez lesz:
`a-b=((a-b)(a+b))/(a+b)=(a^2-b^2)/(a+b)`
szóval `a`-nak meg `b`-nek is a négyzete lesz, így ha valamelyik négyzetgyökös volt, eltünik a gyök!

Most:
`2n-sqrt(4n^2+5n-1)=((2n-sqrt(4n^2+5n-1))(2n+sqrt(4n^2+5n-1)))/(2n+sqrt(4n^2+5n-1))=`
`=((2n)^2-sqrt(4n^2+5n-1)^2)/(2n+sqrt(4n^2+5n-1))=`
`2n`-nek a négyzete `4n^2`, a gyökösnek meg gyök nélkül. Fontos viszont, hogy zárójelbe kell tenni azt, ami a gyök alatt volt, mert a gyök azokat egybe tartotta eddig, és a gyök elhagyása után zárójellel kell egybe tartani:
`=(4n^2-(4n^2+5n-1))/(2n+sqrt(4n^2+5n-1))=(4n^2-4n^2-5n+1)/(2n+sqrt(4n^2+5n-1))=(-5n+1)/(2n+sqrt(4n^2+5n-1))`
Oda kellett figyelni az előjelekre!

Ennek a limeszét még mindig nem lehet tudni, a nevezőben vagy egy gyök, de legalább nem ∞-∞ hanem ∞+∞. A gyöktől részben meg tudunk szabadulni, ha a legnagyobb hatványkitevőjű tagot kiemeljük belőle:
`=(-5n+1)/(2n+sqrt(4n^2)sqrt(1+(5n)/(4n^2)-1/(4n^2)))=(-5n+1)/(2n+2n·sqrt(1+(5)/(4n)-1/(4n^2)))`

A határérték már látszik: a számlálót és a nevezőt is osszuk `n`-nel:
`=lim_(n→∞)(-5+1/n)/(2+2·sqrt(1+(5)/(4n)-1/(4n^2)))=(-5+0)/(2+2·sqrt(1+0-0))=(-5)/4`

Nagyon köszönöm a segítséget! Így már tiszta világos. Ezek alapján megoldottam egy ugyanilyen típusú feladatot. Szerintem most már minden stimmel. Mégegyszer köszönöm és BUÉK!