Matek

13 a)
Egy függvény `x` értékét keresed adott `f(x)`-re. Csak behelyettesíted az adott `f(x)`-et és megoldod `x`-re.
`2sinx+1=f(x)`
`2sinx+1=0`
`2sinx=-1`
`sinx=-1/2`
A `sinx` függvény értéke 2 helyen lesz ennyi, -30 és -150 foknál. Ez két újabb egyenletet hoz létre.
`x_1=-30°+k*360° \qquad (k in Z)`
`x_1=-pi/6+k*2pi`

`x_2=-150°+l*360°\qquad (l in Z)`
`x_2=-5/6pi+l*2pi`

És ellenőrzés.

b)
`sqrt(x^2+12x+36)-3 ge 0`
Na itt tudsz egy kicsit trükközni, mert észrevehetsz egy teljes négyzetet.
`sqrt((x+6)^2)-3 ge 0`
`abs(x+6)-3 ge 0`
`abs(x+6) ge 3`
Az abszolútérték miatt ez is két részre bomlik.
Ha `x+6 ge 0 => x ge -6`
`x+6 ge 3`
`x ge -3`

Ha `x+6 le 0 => x le -6`
`x+6 le -3`
`x le -9`

A számegyenest úgy rajzolod be, hogy
`x le -9\ \ \ vee\ \ \ x ge -3`

16 a)
Ha megnézed a sorokban az oltványok összegét, akkor egy számtani sorozatot vehetsz észre, ami folyamatosan 4-gyel növekszik. Tudod, hogy a számtani sorozat összege 4740 lesz. Tudod azt is, hogy egy számtani sorozat összegét ki lehet számolni a sorozat különbségéből (d), az első eleméből (a1) és az elemek számából (n) úgy, hogy `S=(n*(2a_1+(n-1)*d))/(2)`. Behelyettesíted az ismert adatokat, és könnyen meg tudod oldani n-re, a sorok számára.

`4740=(n(2*100+(n-1)*4))/2`

`9480=n(200+4n-4)`
`9480=196n+4n^2`
`0=4n^2+196n-9480`
Két gyököt kapsz, az egyik -79, ami nyilván nem jó, a másik 30. `n=30` sor lett ültetve.

Tudod, hogy a terület trapéz alakú. Az első sorba 100 tőkét ültettek, ez 99 tőke-köz, ami `99*1.5=148.5\ m`. Ez a trapéz egyik alapja.
Az utolsó sorba `a_1+(n-1)d=100+29*4=216` tőkét ültettek. Ez 215 tőke-köz, ami `322.5\ m` Ez a trapéz másik alapja.
Összesen 30 sort ültettek. Ez 29 sorköz, ami `29*2=58\ m` Ez a trapéz magassága. Ezekből meg tudod határozni a trapéz területét.
`T=(148.5+322.5)/2*58=13659\ m^2`

c)
A borok száma egy mértani sorozat. Amikor megtöltik a 100000. palackot, akkor ennyi lesz a mértani sorozat összege. A mértani sorozat összegének képlete `S=a_1*(1-q^n)/(1-q)`, ahol a1 az első elem (5000), q a hányados (+9%, azaz 1.09) és n az elemek száma.

`100000=5000*(1-1.09^n)/(1-1.09)`

`20=(1-1.09^n)/(-0.9)`

`-18=1-1.09^n`
`1.09^n=19`
`n=log_1.09 19 approx 34.167`

Ez azt jelenti, hogy 35 év múlva lesz megtöltve a 100000. palack, tehát a borász 65 éves lesz.