f(x)'=`e^x(x^2+3x+1)` + `e^x(2x+3)`

`e^0` = 1 és az x-es tagok 0-k az x=0 helyen.

f(0)'= `e^x˙*((x^2+ (3+2)*x + (3+1))`= 4

f(0)'' = `e^x(x^2 + (3+2+2)*x + (3+2+3+1))`= 9

.
.
.
`f(0)^((n))`= `e^x(x^2+ (3+2n)*x + 1+sum_1^n(2*n+1))` = `(n+1)^2`

`sum_1^a(1+2(a-1))` = `a^2`

a=n+1

1+ `sum(1+2n)` = `(n+1)^2`

Nekem `(n+1)^2` jött ki, de lehet, hogy én tévedek.

Jó kazah válasza, csak picit másképp csinálom:

Néhány deriválás után jön az ötlet, hogy teljes indukcióval bizonyára belátható ez:
`f^((n))(x)=e^x(x^2+(2n+3)x+(n+1)^2)`
`n`=0-ra igaz (az az eredeti fűggvény)
`n+1`-re pedig:
`f^((n+1))(x)=e^x(x^2+(2n+3)x+(n+1)^2)+e^x(2x+(2n+3))=`
`=e^x(x^2+(2+2n+3)x+(n+1)^2+2n+3)=`
`=e^x(x^2+(2(n+1)+3)x+((n+1)+1)^2)`
Tehát tényleg igaz.

Ezek után:
`f^((n))(0)=e^0(0^2+(2n+3)0+(n+1)^2)=(n+1)^2`
Nem `n^3` jön ki...

Szóval `f(x) = e^x·x(x^2+3x+1)=e^x(x^3+3x^2+x)`

Az első néhány derivált ez:
`f'(x)=e^x(x^3+6x^2+7x+1)`
`f''(x)=e^x(x^3+9x^2+19x+8)`
`f^((3))(x)=e^x(x^3+12x^2+37x+27)`

Ebből annyi sejthető, hogy
`f^((n))(x)=e^x(x^3+3(n+1)x^2+"valami"·x+n^3)`
Ez persze csak sejtés, ráadásul a lineáris tag együtthatója nem ismerős...

Ha viszont ezt deriváljuk, ez lesz:
`f^((n+1))(x)=e^x(x^3+3(n+2)x^2+("valami"+6(n+1))·x+n^3+"valami")`

A lineáris tag együtthatója tehát egy ilyen sorozat:
`a(0)=1`
`a(n)=a(n-1)+6n`
vagy ha ezt kibontjuk (illetve lehet, hogy könnyebben látszik, ha az első deriválttól kezdve nézzük, hogy mik adódtak össze) :
`a(n)=1+sum_(k=1)^n 6k=1+6·(n·(n+1))/2`
hisz a legegyszerűbb számtani sorozat összegének a 6-szorosa van az 1-hez adva.
`a(n)=3n^2+3n+1`

Tehát a sejtésünk ez:
`f^((n))(x)=e^x(x^3+3(n+1)x^2+(3n^2+3n+1)·x+n^3)`

Ezt megint teljes indukcióval bizonyíthatjuk:
`n=1`-re teljesül.
Feltesszük, hogy `n`-re igaz, nézzük meg `n+1`-re:
`f^((n+1))(x)=d/(dx) f^((n))(x)=`
`=e^x(x^3+3(n+2)x^2+((3n^2+3n+1)+6(n+1))·x+n^3+(3n^2+3n+1))`
`=e^x(x^3+3(n+2)x^2+((3n^2+6n+3)+(3n+3)+1)·x+(n^3+3n^2+3n+1))`
`=e^x(x^3+3(n+2)x^2+(3(n+1)^2+3(n+1)+1)·x+(n+1)^3)`
Tehát beláttuk, hogy `n+1`-re is a sejtett alakú összefüggés jön ki.

Vagyis bizonyítottuk,. hogy
`f^((n))(x)=e^x(x^3+3(n+1)x^2+(3n^2+3n+1)·x+n^3)`

Akkor pedig
`f^((n))(0)=e^0·(0^3+3(n+1)0^2+(3n^2+3n+1)·0+n^3)=n^3`